\section{Modulationen}
\begin{definition}[Tonvorrat]
     Ein \vocab{Tonvorrat} ist eine Menge von $n$ Tönen pro Oktave, welche ungefähr gleichmäßig verteilt sind.
 \end{definition}

\begin{definition}
     Wir definieren eine Metrik auf der Menge der Tonvorräte, wobei $\text{dist}(T, T')$ die minimale Anzahl an Halbtonschritten sei, die geändert werden müssen, um von $T$ zu $T'$ zu gelangen.
 \end{definition}


 \begin{definition}
     Eine \vocab{Modulation} ist ein Wechsel c$\sharp$ %des
     Tonvorrates, der nicht auf komplett absurde Weise geschieht. (``lokal sinnvoll'', einzelne Töne werden minimal verändert)
 \end{definition}

 Tonvorräte:
 \todo{In Tabelle überführen}
 \begin{itemize}
     \item $n=2$ :
         \begin{itemize}
             \item 6,6 (Halbtonschritte EDO12)
                 z.B. $C, F\sharp$
             \item  $7,5$ 
                 z.B. $C,G$
                 mögl. Modulation $C,G \to C,G\flat (6,6) \to D\flat,G\flat (5,7)$
             \item $8,4$
         \end{itemize}
     \item $n=3$
         \begin{itemize}
            \item  $4,4,4$
                z.B.  $C,E,G\sharp$
            \item $4,3,5$ z.B.  $C,E,G$ (\vocab{Dur})
            \item  $3,4,5$ z.B.  $C,E\flat, G$ (\vocab{Moll})

        \end{itemize}
        Mögl. Modulationen:  $C,E,G \to  C, E\flat, G (3,4,5)$, $C,E,G \to  B,E,G (3,4,5)$, $C,E,G \to C,E,G\sharp (4,4,4)$
        Insbesondere kommt man von $C,E\flat, G$ über  $C,E,G$ nach  $B,E,G$ (Verschiebung um ein Terz)

     \item $n=4$
         \begin{itemize}
             \item $3,3,3,3$ z.B.  $C, E\flat,G\flat,A$
            \item $3,3,2,4$  $C,E\flat, G\flat, A\flat$ $(A\flat^7)$
             \item  $2,3,3,4$ $C,D,F,A\flat$ ($f^6$)
             \item $3,2,3,4$ $C,E\flat, F, A\flat$ ($f^7$)
         \end{itemize}

         Mögl. Modulationen:

         $A\flat, C, E\flat, G\flat \to  A \flat, C, E\flat F (4,3,2,3)$

         $A\flat, C, E\flat, G\flat \to  A \flat, C\flat, E\flat, G\flat (3,4,3,2)$


         Insbesondere kommt man von $A\flat, C, E\flat, F$ nach  $A\flat, C\flat, E\flat, G\flat$ (Verschiebung um eine kleine Terz).


         Modulationen mit zwei Änderungen:

         $A, C, D, G\flat = F\sharp$ ($D^7$)

         $A,B,E\flat=D\sharp, G\flat = F\sharp$ $(B^7)$

         $A,C,E\flat,F$ ($F^7$)


         Die Modulation von $D^7$ nach $A\flat^7$ wird als \vocab{tritone substitution} bezeichnet.
     \item $n = 5$
          \begin{itemize}
             \item $3,2,2,3,2$
                 (Pentatonik)
         \end{itemize}
     \item $n=6$
        \begin{itemize}
            \item $2,2,2,2,2,2$ (Ganztonleiter)
        \end{itemize}
    \item $n=7$
        \begin{itemize}
            \item $2,2,1,2,2,2,1$
        \end{itemize}
        Je nach Wahl des Grundtones ergibt sich Dur oder Moll.
        Je früher die Halbtonschritte kommen, desto dunkler ist die Tonart.

        Modulationen verschieben um eine Quinte $\leadsto$ \vocab{Quintenzirkel}
\end{itemize}
 \begin{quote}
    ``Im Prinzip ist Game of Thrones ein großes Jazz Stück'' - Man erwartet gewisse Dinge, die manchmal eintreten und manchmal nicht. 
 \end{quote}


\subsection{Stabilität von Akkorden}

\begin{definition}
    Ein Akkord heißt \vocab{stabil} wenn keine Auflösung erwartet wird. (Wir könnten das Stück auf diesem Akkord beenden) 
\end{definition}

Leitton (Auflösung kl. Halbton nach oben)
\todo{In Tabelle überführen}


c g b d $\frac{8}{3}, 4, 5, 6$ bzw. $8, 12, 15, 18$. Die Erinnerung an den Grundton  $c$ macht den Akkord instabil.

