\vocab{Schall} ist eine Funktion $f: \text{Zeit}\to\text{Druck}$ bzw. $f: \text{Zeit}\to\text{Luftbewegung}$
\end{definition}
\begin{definition}[Ton]
Ein \vocab{Ton} entspricht einer Schwingungsfrequenz.
\end{definition}
\begin{observe}
Die Funktion $\sin(2\pi\cdot f \cdot t)$ ist periodisch mit $T_0$ genau dann, wenn $f = k \cdot\frac{1}{T_0}$ für ein $k \in\Z$.
\end{observe}
\begin{definition}[Lineares Modell der MTT]
Jede Funktion mit Periode $T_0$ kann als Summe von Funktionen der Form $a \cdot\sin(2\pi\cdot f \cdot t), a\cdot\cos(2\pi\cdot f\cdot t)$, $f = k \cdot\frac{1}{T_0}, a \in\R, k \in\Z$ dargestellt werden.
Für $k=1$ ergibt sich die \vocab{Grundfrequenz}$\frac{2\pi}{T}$, für $k \ge2$ reden wir von \vocab[Oberton]{Obertönen}.
\end{definition}
\todo{Obertöne Saiteninstrument (Alle Obertöne), Flöte, Querflöte (Obertöne nur für $k \in2\N+1$)}
Ein Dur-Akkord besteht aus einer großen und einer kleinen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{5}{4}, \frac{5}{4}\cdot\frac{6}{5}=\frac{6}{4}$.
Ein Moll-Akkord besteht aus einer kleinen und einer großen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{6}{5}, \frac{3}{2}$.
\end{definition}
\begin{definition}[Septakkord]
Ein \vocab{Septakkord} fügt zusätzlich noch eine kleine Terz hinzu.
Als Septime ergibt sich ein Frequenzverhältnis von $\frac{9}{5}$, $\frac{7}{4}$ oder $\frac{16}{9}$, je nachdem von wo aus der siebte Ton gesucht wird. Für Dur wirkt dabei $\frac{7}{4}$ (Septime zum Grundton) sinnvoller (?)\footnote{Unter der Annahme, dass der Dur-Dreiklang durch die Obertonreihe motiviert ist.}, für Moll $\frac{9}{5}$.
\end{definition}
\begin{problem}
Wir suchen ein \vocab{equal temperament} / eine \vocab{gleichstufige Stimmung}, die die wichtigsten Intervalle möglichst gut approximiert.
\end{problem}
Die ``Wichtigkeit'' eines Intervalls definieren wir dabei über die Größe des Nenners, d.h. die Intervalle sind in absteigender Wichtigkeit: Oktave, Quinte, Quarte, gr. Terz, \dots
Falls sowohl Oktaven als auch Quinten übereinstimmen sollen, bräuchten wir $a,b \in\N_{>0}$, so dass $2^a =\left(\frac{3}{2}\right)^b$. Solche existieren offenbar nicht.
Reelle Lösungen existieren, mit $\frac{b}{a}=\frac{\log2}{\log\frac{3}{2}}$. Mit Hilfe von \vocab[Kettenbruch]{Kettenbrüchen} finden wir möglichst gute Näherungen.
\begin{notation}[Kettenbruchzerlegung]
Wir schreiben $[a;b,c,d,\ldots]$, $a \in\Z, b,c,d, \ldots\in\N_{+}$ für
\[
a + \frac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d + \ldots}}}
\]
\end{notation}
Eine Näherung ist besser, je größer die erste weggelassene Zahl ist. Näherungen sich abwechselnd obere und untere Schranken.
Das optimiert zunächst nur Oktaven und Quinten. Da Quarten der Rest einer Quinte zur Oktave sind, werden diese ebenfalls gut approximiert.
Videos zu EDO53: \url{https://www.youtube.com/watch?v=ILcgB_kOWzM}, \url{https://www.youtube.com/watch?v=T5OvAjzWF2Y}, \url{https://www.youtube.com/watch?v=xVZy9GUeMqY}
Eine große Terz lässt sich durch Quinten erreichen, indem man 4 quinten nach oben und 2 Oktaven nach unten geht. Als Frequenzverhältnis ergibt sich dann $\left(\frac{3}{2}\right)^4\cdot\frac{1}{2^2}=\frac{81}{64}$. Die Abweichung $\frac{81}{80}$ zum Frequenzverhältnis $\frac{5}{4}$ wird als \vocab{syntonisches Komma} bezeichnet ($21,5ct.$).
In EDO53 entspricht ein Tonschritt ($22,6ct.$ ) in etwa dem syntonischen Komma.
\begin{remark}[Bohlen-Pierce-Skala]
$3^{\frac{k}{13}}, k \in\Z$. Ein einzelner Schritt liegt zwischen einem Halbton und einem Ganzton. Faktor $3$ und Faktor $5$ werden gut approximiert, aber es gibt keine sinnvolle Oktaven.
``Ich will das jetzt nicht werten, aber ich würde es als experimentell bezeichnen.''
\end{remark}
\begin{remark}
In der Musik aller Kulturen findet sich das Konzept einer Oktave.
unendlich & braucht man nicht & Fouriertransformation\\
\end{tabular}
\end{table}
\begin{observe}
Wenn zwei Töne aus einem Intervall mit rationalem Verhältnis zusamen klingen, fallen viele der Freqeunzen aus dem Obertonspektrum zusammen.
\end{observe}
\todo{Bild dazu}
\paragraph{Erklärungsversuch} Bei Tönen, die nicht in einem rationalen Verhöltnis stehen, werden Schwebungen im Obertonspektrum wahrgenommen und sorgen dafür, dass diese Intervalle nicht gut klingen.
Die Erklärung ist falsch: Auch bei reinen Sinustönen klingen rationale Intervalle besser als andere, jedoch haben diese kein Obertonspektrum. Ferner sind die Schwebungen vermutlich nicht wahrnehmbar.
(1) und (2) können wir mit digitaler Technik kontrollieren.
Welche nichtlinearen Effekte können auftreten?
\begin{itemize}
\item Dämpfung / Anregung (2)
\item Ohr (3)
\item neuronale Prozesse (Aktivierungsfunktion in ML) (4)
\item Instabilität (1)
\end{itemize}
Für die Erklärung der Wahrnehmung von rationalen Intervallen scheinen Däpfung und Instabilität nicht wichtig zu sein, denn die Intervalle klingen auch für reine Sinustöne gut.
\subsubsection{Ohr}
Es gibt keinen Grund anzunehmen, dass das Ohr Schall linear wahrnimmt. Beispielsweise die Trichterform des Gehörganges sorgt für Verzerrung
Annahme: Die Nichtlinearität wirkt nur auf die Auslenkung zum aktuellen Zeitpunkt.
Sei Schall gegeben durch $a(t)$ und eine nichtlineare Verzerrung $g$.
Sei $a(t)=\sin(\alpha t)+\sin(\beta t)$.
Wir können $g$ mit einer Taylorreihe approximieren\footnote{\url{https://www.youtube.com/watch?v=3d6DsjIBzJ4}}.
Sei $g(x)= c_0+ c_1x+ c_2x^2+\ldots$.
Es ergibt sich für den quadratischen Term:
\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
(\sin\alpha t + \sin\beta t)^2 &=& (\sin\alpha t)^2 + 2 \sin\alpha t \sin\beta t + (\sin\beta t)^2\\
&\overset{?}{=}&\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2 \alpha t + \cos(\alpha t - \beta t) \cos (\alpha t + \beta t)
+ \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos 2 \beta t\\
\end{IEEEeqnarray*}
Die hierdurch entstehenden Töne mit Frequenzen $\alpha-\beta, \ldots$ werden als \vocab[Kombinationston]{Kombinationstöne} bezeichnet.
\begin{observe}
Für verschiedene $\alpha, \beta$ in der selben Größenordnung kann $\alpha-\beta$ von deutlich anderer Größenordnung sein.
\end{observe}
Bei einem rationalen Intervall wird hierdurch auch der Grundton hörbar (\vocab{Rekonstruktion des Grundtones}).
Man kann das ausprobieren ({\color{red}ACHTUNG UNANGENEHM!}): \url{http://szhorvat.net/pelican/combination-tones.html}
Siehe auch \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Beat_(acoustics)#Binaural_beats}.
Für das selbe Signal mit verschiedener Lautstärke, $b(t)\coloneqq\lambda a(t), \lambda < 1$, ändert sich dieser Effekt, bei größerer Lautstärke wird der Kombinationston relativ lauter.
Es ergeben sich Schwebungen wischen den Kombinationstönen.
Es ist unklar, ob die Schwebungen und/oder der sehr tiefe Kombinationston $0.02\alpha$ dafür sorgt, dass das Intervall als unangenehm wahrgenommen wird.
