musiktheorietheorie/inputs/akkorde.tex

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2022-03-26 10:28:59 +01:00
\section{Akkorde}
\begin{definition}[Akkord]
Ein \vocab{Akkord} ist eine Menge von mindestens $3$ Tönen.
\end{definition}
\begin{notation}
Für Töne mit Frequenzen $n \cdot \alpha, m \cdot \alpha,\ldots$ notieren wir im Folgenden $n:m:\ldots$.
\end{notation}
\begin{example}
Der Akkord $2:3:4$ wird als \vocab{Powerchord} bezeichnet.
\begin{itemize}
\item linear: $2,3,4$
\item quadratisch: $1,2,4,5,6,6,7,1,8$
\end{itemize}
Verglichen mit der Quinte (\autoref{quinte}) kommen einige Kombinationstöne mehrfach, d.h.~lauter, vor.
TODO: Noten cgc
2022-03-27 12:09:14 +02:00
\includegraphics{lilypond/cgc.pdf}
2022-03-26 10:28:59 +01:00
\end{example}
\begin{example}[Dur-Akkord]
Wir betrachten den Akkord $3:4:5$.
\begin{itemize}
\item linear: $3,4,5$
\item quadratisch: ...
\end{itemize}
Die Kombinationstöne ergeben ein Obertonspektrum des mittleren Tones.
TODO: Noten cfa
\end{example}
\begin{example}
Wir betrachten den Akkord $3:4:6$.
TODO: Noten cfc
\end{example}
\begin{example}
$3:5:6$
TODO: Noten cac
Als Grundton ergibt sich ein f, welches allerdings im Akkord nicht vorkommt.
\end{example}
\begin{example}[Dur-Akkord, Grundstellung]
$4:5:6$
TODO: Noten fac
Als Grundton ergibt sich ein $f$.
\end{example}
\begin{example}
$4:5:7$
TODO: Noten f a es?
\end{example}
\begin{example}
$4:6:7$
TODO: Noten f c es?
$F_{3\!\!\!/}^7$
\end{example}
\begin{example}
$4:5:6:7$
Dur-Septakkord $F^7$
TODO: Noten f a c es?
% Dieser Akkord mit reiner Septime entspricht nicht dem normalerweise verwendeten Dur-Septakkord.
\end{example}
\begin{example}
Der Akkord $5:6:7$ wird als \vocab{verminderter Akkord} bezeichnet.
TODO: Noten a c es?
$F\!\!\!\!/^7$
\end{example}
\begin{example}
2022-03-27 12:09:14 +02:00
$5:6:8 $ wird als \vocab{Neapolitaner} bezeichnet.
2022-03-26 10:28:59 +01:00
TODO: Noten acf
\end{example}
\begin{example}[Moll-Akkord]
Der Akkord $10:12:15$ wird als \vocab{Moll-Akkord} bezeichnet.
TODO: Noten f as c
Als Grundton der Kombinationstöne ergibt sich ein des, der \vocab{Gegenklang} zu f.
\end{example}
\begin{example}[Großer Dur-Septakkord]
$8:10:12:15$
TODO: Noten des f as c
$D\flat^{\text{maj}7}$
\end{example}
\begin{example}[Moll-Septakkord]
$10 : 12 : 15 : 18$
TODO: Noten f as c es
Als Grundton der Kombinationstöne ergibt sich ein des.
Allerdings ist auch das as relativ stark vorhanden.
\end{example}
2022-03-27 12:09:14 +02:00
\begin{example}
2022-03-26 10:28:59 +01:00
$4:5:6:7:9$
TODO: Noten f a c es? g
$F^{7,9}$
\end{example}
2022-03-27 12:09:14 +02:00
2022-03-26 10:28:59 +01:00
\begin{quote}
``Wenn wir Jazz machen, packen wir einfach noch ein paar Terzen drauf.''
\end{quote}
2022-03-27 12:09:14 +02:00
\begin{example}[Sixte ajout\'ee]
$10 : 12 : 15 : 17$ heißt \vocab{Sixte ajout\'ee}.
TODO: Noten e g h cis
$C\!\!\!\!/\,\,\,^{\text{maj}7,>8}$
$12 : 17$ ist ein Tritonus (etwas größer als $\sqrt{2} $).
Mit Oktavreduktion\footnote{Es handelt sich nicht wirklich um Oktavreduktion, das Verhältnis ändert sich. ($10 : 12 : 15 : 17 \neq 6: 7 : 9 : 10 (A\!\!\!/\,\,^{7,9}/E$)} lässt sich der Akkord umschreiben zu
TODO: Noten cis e g h
($5:6:7:9$, $A\!\!\!/^{7,9}$, kein Sixte ajout\'ee)
\end{example}
\begin{question}
Ist Oktavreduktion überhaupt sinnvoll?
\end{question}
\todo{Jupyter Notebook (Appendix?)}
\paragraph{Exkurs: Kirchenglocken}
Es ist Sonntag, daher läuten gerade Kirchenglocken. Hier kann man den \vocab{Dopplereffekt} hören.
\begin{remark}
Diese Sichtweise ist stark geprägt von Akkorden. Wenn man Melodien intoniert, so kommt man teilweise zu gegensätzlichen Ergebnissen. Auf der Geige ist beispielsweise ein $g\sharp$ höher als $a\flat$.
Siehe auch ``How equal temperament ruined harmony'' S. 47 und 78.
\end{remark}
\begin{remark}
Nach Leopold Mozart teilt sich der Ganzton in eine großen und einen kleinen Halbton, welche im Verhältnis $5 : 4$ stehen. Im Wesentlichen beschreibt das EDO53.
\end{remark}
TODO: c-Dur Tonleiter mit reinen Dur-Akkorden
\begin{table}[htpb]
\centering
\caption{C-Dur Tonleiter mit reinen Dur-Akkorden}
\begin{tabular}{c|cccccccccccccccc}
Ton&c && d && e && f && g && a && h && c \\
Verhältnis & $\frac{1}{1}$ && $\frac{9}{8}$ && $\frac{5}{4}$ && $ \frac{4}{3}$ && $ \frac{3}{2}$ && $\frac{5}{3}$ && $\frac{15}{8}$ && $\frac{2}{1}$\\
Schritt & & $\frac{9}{8}$& & $\frac{10}{9}$& & $\frac{16}{15}$& & $\frac{9}{8}$& & $\frac{10}{9}$& & $\frac{9}{8}$& & $\frac{16}{15}$& \\
\end{tabular}
\label{cdurrein}
\end{table}
Bei Einteilung eines Ganztones ist großen und kleinen Halbton ergeben sich als Schritte $9+8+5+9+8+9+5= 53$.
\todo{EDO12 Tonleiter vs Tonleiter mit reinen Akkorden ausprobieren}
\begin{notation}[Notation für 5-limit-tuning]
Töne werden immer pythagoräisch notiert. Mit einem $,$ oder ${}^,$ wird eine Verschiebung nach unten oder oben notiert.
\autoref{cdurrein} wird so als $c~ d~ e,~f~ g~ a,~ h,~ c$ notiert.
\end{notation}
\begin{table}[htpb]
\centering
\caption{Intervalle in EDO53}
\label{tab:intervalleedo53}
2022-03-28 12:05:52 +02:00
\begin{tabular}{c|ccc}
Intervall & EDO53 & rein & EDO12\\
2022-03-27 12:09:14 +02:00
\hline
kl. Sekunde & $3$, $4$, $5$ & $\frac{25}{24}$, $?$, $\frac{16}{15}$ \\
2022-03-28 12:05:52 +02:00
große Sekunde & $8$, $9$ & $\frac{10}{9}$, $\frac{9}{8}$& $\checked (\frac{9}{8})$, $-4 ct$ \\
kleine Terz & $13$, $14$ & $\frac{32}{17}$, $\frac{6}{5}$ & $(\checked) (\frac{32}{27})$, $+6ct.$\\
große Terz & $17$, $18$ & $\frac{5}{4}$, $\frac{81}{64}$ & $(\checked) (\frac{81}{64})$, $-8ct.$ \\
Quarte & $22$ & $\frac{4}{3}$ & $\checked$, $+2ct.$\\
2022-03-27 12:09:14 +02:00
Tritonus & $26$, $27$ & $\sqrt{2} \approx \frac{7}{5}, \frac{10}{7}, \frac{17}{2}$ \\
2022-03-28 12:05:52 +02:00
Quinte & $31$ & $\frac{3}{2}$ & $\checked$, $-2ct.$\\
2022-03-27 12:09:14 +02:00
kl. Sexte & $35$, $36$ & $\frac{128}{81}, \frac{8}{5}$\\
2022-03-28 12:05:52 +02:00
gr. Sexte & $39$, $40$ & $\frac{5}{3}, \frac{27}{16}$ & $(\checked) (\frac{27}{16})$, $-6ct.$\\
kl. Septime & $43$, $44$, $45$ & $\frac{7}{4}$, $\frac{16}{9}$, $\frac{9}{5}$ & $\checked (\frac{16}{9})+4ct.$\\
2022-03-27 12:09:14 +02:00
\end{tabular}
\end{table}
2022-03-28 12:05:52 +02:00
\todo{Aufgabe 2, Stück in EDO53}
\begin{definition}
\vocab{leittönig} $\coloneqq$ keine großen Halbtonschritte
\end{definition}
Buchempfehlung: ``A Geometry of Music'' - Dmitri Tymoczko