diff --git a/.skizzen.autosave.xopp b/.skizzen.autosave.xopp new file mode 100644 index 0000000..1a49b30 Binary files /dev/null and b/.skizzen.autosave.xopp differ diff --git a/abc/dreiecksfunktion-fourier.ggb b/abc/dreiecksfunktion-fourier.ggb new file mode 100644 index 0000000..84abbf9 Binary files /dev/null and b/abc/dreiecksfunktion-fourier.ggb differ diff --git a/inputs/intervalle.tex b/inputs/intervalle.tex index 56250fd..d77d798 100644 --- a/inputs/intervalle.tex +++ b/inputs/intervalle.tex @@ -23,7 +23,7 @@ -\begin{table}[htpb] +\begin{table} %[htpb] \centering \caption{Obertöne} \label{tab:obertoene} @@ -57,9 +57,9 @@ \begin{observe} $\frac{9}{8} = \frac{10}{9}$ ??? \end{observe} - Es ergeben sich außerdem -\begin{table}[htpb] + +\begin{table} %[htpb] \centering \caption{Intervalle} \label{tab:intervale} @@ -98,6 +98,7 @@ Da das leider nicht genau aufgeht definieren wir als atomares Intervall: Dieses Stimmungssystem nennt sich \vocab{EDO12} oder auch \vocab{12-TET}. \end{definition} + Dementsprechend ist ein Intervall mit $n$ Halbtonschritten definiert als $2^{\frac{n}{12}}$. Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner: @@ -106,8 +107,7 @@ Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner: \end{definition} \begin{remark} - Ein Unterschied von $10ct.$ ist hörbar, im direkten Vergelcih konnten wir im Kurs auch Unterschiede von $3ct.$ hören. \todo{Recherchieren} - + Ein Unterschied von $10ct.$ ist hörbar, im direkten Vergelcih konnten wir im Kurs auch Unterschiede von $3ct.$ hören. \url{https://sevish.com/scaleworkshop/} \end{remark} @@ -123,12 +123,15 @@ Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner: % "Text"c2 G4 | (3FED c4 G2 | %\end{abc} -\todo{C-Dur-Tonleiter} + +[todo]: C-Dur-Tonleiter + Ein Dur-Akkord besteht aus einer großen und einer kleinen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{5}{4}, \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{4}$. \end{definition} + \begin{definition}[Moll] -\todo{C-Moll-Tonleiter} +[todo]: C-Moll-Tonleiter Ein Moll-Akkord besteht aus einer kleinen und einer großen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{6}{5}, \frac{3}{2}$. \end{definition} @@ -170,6 +173,7 @@ Eine Näherung ist besser, je größer die erste weggelassene Zahl ist. Näherun \] \end{example} + Die Kettenbruchentwicklung von $\frac{\log 2}{ \log \frac{3}{2}}$ ist $[1; 1,2,2,3,1,5,2,23, \ldots]$. Näherungen sind: \begin{itemize} @@ -232,3 +236,164 @@ In EDO53 entspricht ein Tonschritt ($22,6ct.$ ) in etwa dem syntonischen Komma. \begin{remark} In der Musik aller Kulturen findet sich das Konzept einer Oktave. \end{remark} + +% Tag 4 +\begin{question} + Gibt es einen Grund dafür, dass rationale Intervalle gut klingen? +\end{question} +\paragraph{Erinnerung: Lineares Modell} + +\begin{figure} %[H] + \centering + \begin{tikzcd} + \text{Klang} \arrow{r}{}& \arrow{l}{} \text{Überlagerung von Frequenzen} + \end{tikzcd} +\end{figure} + +\todo{Bild Dreiecksschwingung als Überlagerung von Frequenzen} + +\[ +\sin(\frac{2\pi}{T}\cdot t) - \frac{1}{3^2} \sin(3 \cdot \frac{2\pi}{T} t) + \frac{1}{5^2} \sin(5 \cdot \frac{2\pi}{T}t) - \ldots +\] + + +\todo{Bild Fouriertransformation} + + +\begin{question} + Ist die Phasenverschiebung der einzelnen Komponenten für den Klang relevant? +\end{question} +\todo{ausprobieren} + + +\todo{Diskrete Fouriertransformation aus AlMa abschreiben} +\todo{FFT} + + +\footnote{In Audacity kann man ein Frequenzspektrum unter Analyze $\to $ Plot Spectrum berechnen} + +\begin{table} + \centering + \caption{Fouriertransformation} + \begin{tabular}{ccc} + & diskret & kontinuierlich \\ + endliche Länge & DFT / FFT & Fourieranalyse (diskrete Frequenzen) \\ + unendlich & braucht man nicht & Fouriertransformation\\ + \end{tabular} +\end{table} + +\begin{observe} + Wenn zwei Töne aus einem Intervall mit rationalem Verhältnis zusamen klingen, fallen viele der Freqeunzen aus dem Obertonspektrum zusammen. +\end{observe} +\todo{Bild dazu} + +\paragraph{Erklärungsversuch} Bei Tönen, die nicht in einem rationalen Verhöltnis stehen, werden Schwebungen im Obertonspektrum wahrgenommen und sorgen dafür, dass diese Intervalle nicht gut klingen. +Die Erklärung ist falsch: Auch bei reinen Sinustönen klingen rationale Intervalle besser als andere, jedoch haben diese kein Obertonspektrum. Ferner sind die Schwebungen vermutlich nicht wahrnehmbar. + +\subsection{Nichtlineare Effekte} + + +Erinnerung: + \begin{tikzcd} + \text{Noten} \arrow{r}{1}& \text{Instrumente}\arrow{d}{2}\\ + & \text{Schall}\arrow{d}{3} \\ + \text{Empfindung} \arrow{uu}{\text{komponieren}} & \text{Ohr}\arrow{l}{4} + \end{tikzcd} + + +(1) und (2) können wir mit digitaler Technik kontrollieren. +Welche nichtlinearen Effekte können auftreten? + +\begin{itemize} + \item Dämpfung / Anregung (2) + \item Ohr (3) + \item neuronale Prozesse (Aktivierungsfunktion in ML) (4) + \item Instabilität (1) +\end{itemize} + +Für die Erklärung der Wahrnehmung von rationalen Intervallen scheinen Däpfung und Instabilität nicht wichtig zu sein, denn die Intervalle klingen auch für reine Sinustöne gut. + +\subsubsection{Ohr} + +Es gibt keinen Grund anzunehmen, dass das Ohr Schall linear wahrnimmt. Beispielsweise die Trichterform des Gehörganges sorgt für Verzerrung + +Annahme: Die Nichtlinearität wirkt nur auf die Auslenkung zum aktuellen Zeitpunkt. + +Sei Schall gegeben durch $a(t)$ und eine nichtlineare Verzerrung $g$. + +Sei $a(t) = \sin(\alpha t) + \sin(\beta t)$. + +Wir können $g$ mit einer Taylorreihe approximieren\footnote{\url{https://www.youtube.com/watch?v=3d6DsjIBzJ4}}. + +Sei $g(x) = c_0 + c_1x+ c_2x^2 + \ldots$. +Es ergibt sich für den quadratischen Term: +\begin{IEEEeqnarray*}{rCl} + (\sin \alpha t + \sin \beta t)^2 &=& (\sin \alpha t)^2 + 2 \sin \alpha t \sin \beta t + (\sin \beta t)^2\\ + &\overset{?}{=}& \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 \alpha t + \cos(\alpha t - \beta t) \cos (\alpha t + \beta t) + + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 \beta t\\ +\end{IEEEeqnarray*} + +Die hierdurch entstehenden Töne mit Frequenzen $\alpha - \beta, \ldots$ werden als \vocab[Kombinationston]{Kombinationstöne} bezeichnet. + +\begin{observe} + Für verschiedene $\alpha, \beta$ in der selben Größenordnung kann $\alpha - \beta$ von deutlich anderer Größenordnung sein. +\end{observe} + +Bei einem rationalen Intervall wird hierdurch auch der Grundton hörbar (\vocab{Rekonstruktion des Grundtones}). + +Man kann das ausprobieren ({\color{red}ACHTUNG UNANGENEHM!}): \url{http://szhorvat.net/pelican/combination-tones.html} + +Siehe auch \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Beat_(acoustics)#Binaural_beats}. + + + +Für das selbe Signal mit verschiedener Lautstärke, $b(t) \coloneqq \lambda a(t), \lambda < 1$, ändert sich dieser Effekt, bei größerer Lautstärke wird der Kombinationston relativ lauter. + +\begin{example}[Quinte] + Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $2\alpha$ und $3\alpha$. + Als Kombinationstöne ergeben sich: + \begin{itemize} + \item linear: $2 \alpha, 3 \alpha$ + \item quadratisch: $4\alpha, \alpha, 5 \alpha, 6 \alpha$ + \item kubisch: $6 \alpha, \alpha, 7 \alpha, 9 \alpha, 4 \alpha, 8 \alpha$ + \item ... + \end{itemize} + Insgesamt ergibt sich der Grundton $\alpha$ mit einem Obertonspektrum. + +\end{example} + +\begin{example}[kl. Septime] + Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $4 \alpha, 7 \alpha$ + \begin{itemize} + \item linear: $4\alpha, 7 \alpha$ + \item quadratisch: $3 \alpha, 8 \alpha, 11 \alpha, 14 \alpha$ + \item kubisch: $1 \alpha, 10 \alpha, 12 \alpha, 15 \alpha, 18 \alpha, 21 \alpha$ + \item ... + \end{itemize} + +\end{example} + + +\begin{example}[Quarte] + Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $3 \alpha, 4 \alpha$ + \begin{itemize} + \item linear: $3\alpha, 4 \alpha$ + \item quadratisch: $\alpha,6 \alpha, 7 \alpha, 8 \alpha$ + \end{itemize} + + Es ergibt sich eine oktavierte Version des höheren Tones mit Obertonspektrum. +\end{example} + +\begin{example}[unsaubere Quinte] + Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $2 \alpha, 2.99 \alpha$ + \begin{itemize} + \item linear: $2 \alpha, 2.99 \alpha$ + \item quadratisch: $4\alpha, {\color{red}0.99 \alpha}, 4.99 \alpha, 5.98 \alpha$ + \item kubisch: ${\color{red}1.01\alpha}, 3.98 \alpha, 6 \alpha, 6. 99 \alpha, 7.98 \alpha, 8.97\alpha$ + \end{itemize} + + Es ergeben sich Schwebungen wischen den Kombinationstönen. + + Es ist unklar, ob die Schwebungen und/oder der sehr tiefe Kombinationston $0.02 \alpha$ dafür sorgt, dass das Intervall als unangenehm wahrgenommen wird. +\end{example} + diff --git a/skizzen.xopp b/skizzen.xopp index 64e79a4..e586bc5 100644 Binary files a/skizzen.xopp and b/skizzen.xopp differ diff --git a/skizzen.xopp~ b/skizzen.xopp~ new file mode 100644 index 0000000..64e79a4 Binary files /dev/null and b/skizzen.xopp~ differ