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Josia Pietsch
commit
4980104bca
31 changed files with 158 additions and 1447 deletions
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@ -72,7 +72,7 @@
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TODO: Noten f c es?
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$F_{3\!\!\!/}^7$
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$F_{\cancel{3}}^7$
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\end{example}
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\begin{example}
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@ -88,7 +88,7 @@
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Der Akkord $5:6:7$ wird als \vocab{verminderter Akkord} bezeichnet.
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TODO: Noten a c es?
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$F\!\!\!\!/^7$
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$\cancel{F}^7$
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\end{example}
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@ -147,15 +147,15 @@
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TODO: Noten e g h cis
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$C\!\!\!\!/\,\,\,^{\text{maj}7,>8}$
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$\cancel{C}^{\text{maj}7,>8}$
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$12 : 17$ ist ein Tritonus (etwas größer als $\sqrt{2} $).
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Mit Oktavreduktion\footnote{Es handelt sich nicht wirklich um Oktavreduktion, das Verhältnis ändert sich. ($10 : 12 : 15 : 17 \neq 6: 7 : 9 : 10 (A\!\!\!/\,\,^{7,9}/E$)} lässt sich der Akkord umschreiben zu
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Mit Oktavreduktion\footnote{Es handelt sich nicht wirklich um Oktavreduktion, das Verhältnis ändert sich. ($10 : 12 : 15 : 17 \neq 6: 7 : 9 : 10 (\cancel{A}^{7,9}/E$)} lässt sich der Akkord umschreiben zu
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TODO: Noten cis e g h
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($5:6:7:9$, $A\!\!\!/^{7,9}$, kein Sixte ajout\'ee)
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($5:6:7:9$, $\cancel{A}^{7,9}$, kein Sixte ajout\'ee)
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\end{example}
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@ -165,15 +165,13 @@
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\end{question}
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\todo{Jupyter Notebook (Appendix?)}
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\paragraph{Exkurs: Kirchenglocken}
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Es ist Sonntag, daher läuten gerade Kirchenglocken. Hier kann man den \vocab{Dopplereffekt} hören.
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\begin{remark}
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Diese Sichtweise ist stark geprägt von Akkorden. Wenn man Melodien intoniert, so kommt man teilweise zu gegensätzlichen Ergebnissen. Auf der Geige ist beispielsweise ein $g\sharp$ höher als $a\flat$.
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Unsere Sichtweise ist stark geprägt von Akkorden. Wenn man Melodien intoniert, so kommt man teilweise zu gegensätzlichen Ergebnissen. Auf der Geige wird beispielsweise ein $g\sharp$ oft höher gespielt als ein $a\flat$.
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Siehe auch ``How equal temperament ruined harmony'' S. 47 und 78.
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\end{remark}
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@ -197,7 +195,7 @@ TODO: c-Dur Tonleiter mit reinen Dur-Akkorden
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\label{cdurrein}
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\end{table}
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Bei Einteilung eines Ganztones ist großen und kleinen Halbton ergeben sich als Schritte $9+8+5+9+8+9+5= 53$.
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Bei Einteilung eines Ganztons ist großen und kleinen Halbton ergeben sich als Schritte $9+8+5+9+8+9+5= 53$.
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\todo{EDO12 Tonleiter vs Tonleiter mit reinen Akkorden ausprobieren}
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@ -1,3 +1 @@
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\begin{listing}
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TODO: Code einfügen
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\end{listing}
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\lstinputlisting[language=Python]{code/akkorde.py}
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@ -23,7 +23,7 @@
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\begin{table} %[htpb]
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\begin{table}[htpb]
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\centering
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\caption{Obertöne}
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\label{tab:obertoene}
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@ -57,9 +57,9 @@
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\begin{observe}
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$\frac{9}{8} = \frac{10}{9}$ ???
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\end{observe}
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Es ergeben sich außerdem
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Es ergeben sich außerdem:
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\begin{table} %[htpb]
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\begin{table}[htpb]
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\centering
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\caption{Intervalle}
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\label{tab:intervale}
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@ -107,7 +107,7 @@ Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner:
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Ein Unterschied von $10ct.$ ist hörbar, im direkten Vergelcih konnten wir im Kurs auch Unterschiede von $3ct.$ hören.
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Ein Unterschied von $10ct.$ ist hörbar, im direkten Vergleich konnten wir im Kurs auch Unterschiede von $3ct.$ hören.
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\url{https://sevish.com/scaleworkshop/}
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\end{remark}
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@ -116,24 +116,19 @@ Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner:
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\begin{definition}[Dur]
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\vocab{Dur} bezeichnet sowohl eine Tonart, als auch den Akkord, der sich aus den Tönen der 1., 3. und 5. Stufe dieser Tonart ergibt.
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%\begin{abc}[name=c-dur]
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% X: 1 % start of header
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% K: C % scale: C major
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% "Text"c2 G4 | (3FED c4 G2 |
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%\end{abc}
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\vocab{Dur} bezeichnet sowohl eine Tonart, als auch den Akkord, der sich aus den Tönen der 1., 3.~und 5. Stufe dieser Tonart ergibt.
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[todo]: C-Dur-Tonleiter
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TODO: C-Dur-Tonleiter
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Ein Dur-Akkord besteht aus einer großen und einer kleinen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{5}{4}, \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{4}$.
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Ein Dur-Akkord besteht aus einer großen und einer kleinen Terz, d.h.~die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{5}{4}, \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{4}$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Moll]
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[todo]: C-Moll-Tonleiter
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TODO: C-Moll-Tonleiter
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Ein Moll-Akkord besteht aus einer kleinen und einer großen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{6}{5}, \frac{3}{2}$.
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Ein Moll-Akkord besteht aus einer kleinen und einer großen Terz, d.h.~die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{6}{5}, \frac{3}{2}$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Septakkord]
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@ -146,7 +141,7 @@ Ein Moll-Akkord besteht aus einer kleinen und einer großen Terz, d.h. die Töne
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Wir suchen ein \vocab{equal temperament} / eine \vocab{gleichstufige Stimmung}, die die wichtigsten Intervalle möglichst gut approximiert.
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\end{problem}
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Die ``Wichtigkeit'' eines Intervalls definieren wir dabei über die Größe des Nenners, d.h. die Intervalle sind in absteigender Wichtigkeit: Oktave, Quinte, Quarte, gr. Terz, \dots
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Die ``Wichtigkeit'' eines Intervalls definieren wir dabei über die Größe des Nenners, d.h.~die Intervalle sind in absteigender Wichtigkeit: Oktave, Quinte, Quarte, gr. Terz, \dots
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Falls sowohl Oktaven als auch Quinten übereinstimmen sollen, bräuchten wir $a,b \in \N_{>0}$, so dass $2^a = \left( \frac{3}{2} \right)^b$. Solche existieren offenbar nicht.
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@ -225,7 +220,7 @@ Das optimiert zunächst nur Oktaven und Quinten. Da Quarten der Rest einer Quint
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Videos zu EDO53: \url{https://www.youtube.com/watch?v=ILcgB_kOWzM}, \url{https://www.youtube.com/watch?v=xVZy9GUeMqY}
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Eine große Terz lässt sich durch Quinten erreichen, indem man 4 quinten nach oben und 2 Oktaven nach unten geht. Als Frequenzverhältnis ergibt sich dann $\left( \frac{3}{2} \right)^4 \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{81}{64}$. Die Abweichung $\frac{81}{80}$ zum Frequenzverhältnis $\frac{5}{4}$ wird als \vocab{syntonisches Komma} bezeichnet ($21,5ct.$).
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Eine große Terz lässt sich durch Quinten erreichen, indem man 4 Quinten nach oben und 2 Oktaven nach unten geht. Als Frequenzverhältnis ergibt sich dann $\left( \frac{3}{2} \right)^4 \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{81}{64}$. Die Abweichung $\frac{81}{80}$ zum Frequenzverhältnis $\frac{5}{4}$ wird als \vocab{syntonisches Komma} bezeichnet ($21,5ct.$).
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In EDO53 entspricht ein Tonschritt ($22,6ct.$ ) in etwa dem syntonischen Komma.
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\begin{remark}[Bohlen-Pierce-Skala]
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@ -283,11 +278,11 @@ In EDO53 entspricht ein Tonschritt ($22,6ct.$ ) in etwa dem syntonischen Komma.
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\end{table}
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\begin{observe}
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Wenn zwei Töne aus einem Intervall mit rationalem Verhältnis zusamen klingen, fallen viele der Freqeunzen aus dem Obertonspektrum zusammen.
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Wenn zwei Töne aus einem Intervall mit rationalem Verhältnis zusammen klingen, fallen viele der Frequenzen aus dem Obertonspektrum zusammen.
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\end{observe}
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\todo{Bild dazu}
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\paragraph{Erklärungsversuch} Bei Tönen, die nicht in einem rationalen Verhöltnis stehen, werden Schwebungen im Obertonspektrum wahrgenommen und sorgen dafür, dass diese Intervalle nicht gut klingen.
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\paragraph{Erklärungsversuch} Bei Tönen, die nicht in einem rationalen Verhältnis stehen, werden Schwebungen im Obertonspektrum wahrgenommen und sorgen dafür, dass diese Intervalle nicht gut klingen.
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Die Erklärung ist falsch: Auch bei reinen Sinustönen klingen rationale Intervalle besser als andere, jedoch haben diese kein Obertonspektrum. Ferner sind die Schwebungen vermutlich nicht wahrnehmbar.
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\subsection{Nichtlineare Effekte}
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@ -311,7 +306,7 @@ Welche nichtlinearen Effekte können auftreten?
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\item Instabilität (1)
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\end{itemize}
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Für die Erklärung der Wahrnehmung von rationalen Intervallen scheinen Däpfung und Instabilität nicht wichtig zu sein, denn die Intervalle klingen auch für reine Sinustöne gut.
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Für die Erklärung der Wahrnehmung von rationalen Intervallen scheinen Dämpfung und Instabilität nicht wichtig zu sein, denn die Intervalle klingen auch für reine Sinustöne gut.
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\subsubsection{Ohr}
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@ -329,7 +324,7 @@ Sei $g(x) = c_0 + c_1x+ c_2x^2 + \ldots$.
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Es ergibt sich für den quadratischen Term:
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\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
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(\sin \alpha t + \sin \beta t)^2 &=& (\sin \alpha t)^2 + 2 \sin \alpha t \sin \beta t + (\sin \beta t)^2\\
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&\overset{?}{=}& \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 \alpha t + \cos(\alpha t - \beta t) \cos (\alpha t + \beta t)
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&=& \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 \alpha t + \cos(\alpha t - \beta t) \cos (\alpha t + \beta t)
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+ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 \beta t\\
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\end{IEEEeqnarray*}
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@ -1,17 +1,20 @@
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\begin{definition}[Tonvorrat]
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\section{Modulationen}
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\begin{definition}[Tonvorrat]
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Ein \vocab{Tonvorrat} ist eine Menge von $n$ Tönen pro Oktave, welche ungefähr gleichmäßig verteilt sind.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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\begin{definition}
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Wir definieren eine Metrik auf der Menge der Tonvorräte, wobei $\text{dist}(T, T')$ die minimale Anzahl an Halbtonschritten sei, die geändert werden müssen, um von $T$ zu $T'$ zu gelangen.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Eine \vocab{Modulation} ist ein Wechsel c$\sharp$\footnote{Enharmonisch auch als $d\flat$ bekannt} Tonvorrates, der nicht auf komplett absurde Weise geschieht. (``lokal sinnvoll'', einzelne Töne werden minimal verändert)
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Eine \vocab{Modulation} ist ein Wechsel c$\sharp$ %des
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||||
Tonvorrates, der nicht auf komplett absurde Weise geschieht. (``lokal sinnvoll'', einzelne Töne werden minimal verändert)
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\end{definition}
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Tonvorräte:
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\todo{In Tabelle überführen}
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\begin{itemize}
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\item $n=2$ :
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\begin{itemize}
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@ -91,6 +94,7 @@
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\end{definition}
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Leitton (Auflösung kl. Halbton nach oben)
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\todo{In Tabelle überführen}
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c g b d $\frac{8}{3}, 4, 5, 6$ bzw. $8, 12, 15, 18$. Die Erinnerung an den Grundton $c$ macht den Akkord instabil.
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@ -25,6 +25,7 @@
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& \text{Schall}\arrow{d}{} \\
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\text{Empfindung} \arrow{uu}{\text{komponieren}} & \text{Ohr}\arrow{l}{}
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\end{tikzcd}
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\caption{Musik}
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\label{musikkomdiag}
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\end{figure}
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@ -38,19 +39,18 @@
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\item generiert falsifizierbare Hypothesen
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\end{itemize}
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Mathematik:
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In der Mathematik:
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\begin{itemize}
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\item Axiome
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\item Folgerungen
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\item (Konventionen)
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\end{itemize}
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Naturwissenschaften:
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In den Naturwissenschaften:
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Eine Theorie sollte auf einfachen Annahmen beruhen und daraus Vorhersagen über die Realität ermöglichen.
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\paragraph{Musiktheorie}
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Wunsch
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\begin{itemize}
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\item Allgemein gültige Theorie (erklärt alle Musikstücke)
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@ -133,12 +133,9 @@ Einige Aspekte werden in klassischer Musiktheorie nicht behandelt:
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\end{itemize}
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Wir wollen im Folgenden Musiktheorie aus Mathematik und möglichst einfachen Axiomen aufzubauen.
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Wir wollen im Folgenden Musiktheorie aus Mathematik und möglichst einfachen Axiomen aufbauen.
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\begin{notation}
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$B\flat \coloneqq B$
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$B \coloneqq H$
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Wir verwenden die angelsächsische Konvention, den Ton $H$ (Ganzton über $A$) als $B$ und den Ton $B$ (Halbton über $A$) als $B\flat$ zu bezeichnen.
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\end{notation}
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