diff --git a/.skizzen.autosave.xopp b/.skizzen.autosave.xopp new file mode 100644 index 0000000..2cbc8d1 Binary files /dev/null and b/.skizzen.autosave.xopp differ diff --git a/inputs/uebersicht.tex b/inputs/uebersicht.tex new file mode 100644 index 0000000..47b4630 --- /dev/null +++ b/inputs/uebersicht.tex @@ -0,0 +1,244 @@ +\section{Übersicht} + +\subsection{Was ist Musiktheorie?} + + +\paragraph{Musik} +\begin{itemize} + \item Melodien + \item Harmonien + \item Rhythmus + \item Dynamik + \item Instrumente + \begin{itemize} + \item Klangfarbe + \end{itemize} + \item Erzählungsstruktur +\end{itemize} + + + +\begin{figure} + \centering + \begin{tikzcd} + \text{Noten} \arrow{r}{}& \text{Instrumente}\arrow{d}{}\\ + & \text{Schall}\arrow{d}{} \\ + \text{Empfindung} \arrow{uu}{\text{komponieren}} & \text{Ohr}\arrow{l}{} + \end{tikzcd} + \label{musikkomdiag} +\end{figure} + + +\paragraph{Theorie} +\begin{itemize} + \item Abstraktion + \item Analyse + \item Struktur/Erklärungen + \item Modell + \item generiert falsifizierbare Hypothesen +\end{itemize} + +Mathematik: +\begin{itemize} + \item Axiome + \item Folgerungen + \item (Konventionen) +\end{itemize} + +Naturwissenschaften: + +Eine Theorie sollte auf einfachen Annahmen beruhen und daraus Vorhersagen über die Realität ermöglichen. + +\paragraph{Musiktheorie} + +Wunsch +\begin{itemize} + \item Allgemein gültige Theorie (erklärt alle Musikstücke) + \item Empfindung erklären (siehe \autoref{musikkomdiag}) + \item Klassifikation von Musik + \item Abgrenzung zu nicht-Musik + \item Neue Musik generieren $\leadsto$ Hypothesentest +\end{itemize} + + +Realität +\begin{itemize} + \item Gültigkeit beschränkt auf westliche, europäische Musik, ausgewählter männlicher, weißer Künstler aus dem 16. - 20. Jh. + \item Klassifikation funktioniert innerhalb des Gültigkeitsbereiches recht gut. + \item Heuristiken + \item Erklärung funktioniert nicht + \item Hilfsmittel zum Generieren neuer Musik + \item grenzt (mit Absicht!\footnote{Empfehlung: \url{https://www.youtube.com/watch?v=Kr3quGh7pJA}}) gegenüber nicht-weißer Musik ab +\end{itemize} + + + + + + + +\subsection{Aspekte von Musiktheorie} + +Worüber trifft Musiktheorie Aussagen? + +\begin{itemize} + \item Tonleitern (Auswahl aus dem Tonvorrat) - Axiom + \item Tonart (Tonleiter mit Grundton) - Axiom + \item Harmonie + \begin{itemize} + \item Intervalle - Folgerung + \item Akkorde - Folgerung + \begin{itemize} + \item Terzschichtungen - Konvention + \end{itemize} + \item Kadenzen - Folgerung? + \item Konsonanz, Dissonanz - Axiom + \end{itemize} + \item Tonsatz, z.B. Generalbass - Folgerung + \item Betonung - Konvention + \item Rhythmus - Konvention + \item Formlehre - Konvention + \item Melodien / Stimmführung - Axiom + \item Modulation - Folgerung + \item Instrumentation - Konvention + \item Tonvorrat - Axiom + \item Kammerton - Konvention + \item Enharmonik - Folgerung + \item Notation - Konvention +\end{itemize} + + +\begin{question} + Existieren Leittöne auch in anderen Musikrichtungen? +\end{question} + +\paragraph{Stilmittel} +\begin{itemize} + \item Vibrato + \item Glissando + \item Flageoletttöne + \item Verzerrungen + \item Verzierungen +\end{itemize} + + +Einige Aspekte werden in klassischer Musiktheorie nicht behandelt: + +\begin{itemize} + \item Stimmungssysteme + \item Rhythmus + \item Dynamik + \item Klangfarbe + \item Raumzeit$^\text{TM}$ +\end{itemize} + + +Wir wollen im Folgenden Musiktheorie aus Mathematik und möglichst einfachen Axiomen aufzubauen. + +\subsection{Intervalle} + +\begin{definition}[Schall] + \vocab{Schall} ist eine Funktion $f: \text{Zeit} \to \text{Druck}$ bzw. $f: \text{Zeit} \to \text{Luftbewegung}$ +\end{definition} + +\begin{definition}[Ton] + Ein \vocab{Ton} entspricht einer Schwingungsfrequenz. +\end{definition} + +\begin{observe} + Die Funktion $\sin(2\pi \cdot f \cdot t)$ ist periodisch mit $T_0$ genau dann, wenn $f = k \cdot \frac{1}{T_0}$ für ein $k \in \Z$. +\end{observe} + +\begin{definition}[Lineares Modell der MTT] + Jede Funktion mit Periode $T_0$ kann als Summe von Funktionen der Form $a \cdot \sin(2\pi \cdot f \cdot t), a\cdot \cos(2\pi\cdot f\cdot t)$, $f = k \cdot \frac{1}{T_0}, a \in \R, k \in \Z$ dargestellt werden. + + Für $k=1$ ergibt sich die \vocab{Grundfrequenz} $\frac{2\pi}{T}$, für $k \ge 2$ reden wir von \vocab[Oberton]{Obertönen}. +\end{definition} + + +\todo{Obertöne Saiteninstrument (Alle Obertöne), Flöte, Querflöte (Obertöne nur für $k \in 2\N + 1$)} + + + +\begin{table}[htpb] + \centering + \caption{Obertöne} + \label{tab:obertoene} + \begin{tabular}{clcccc} + $k$ & Ton & Frequenz-& Halb- & EDO12 & Reine Intervalle\\ + & & verhältnis & töne& &(Cent) \\ + \hline + $1$ & C \\ + & $\shortdownarrow$ Oktave & $2$ & $10$ & $2,000$ & $1200$\\ + $2$ & C \\ + & $\shortdownarrow$ Quinte & $\frac{3}{2}$ & $7$ & $1,4989$ & $702$\\ + $3$ & G \\ + &$\shortdownarrow$ Quarte & $\frac{4}{3}$ & $5$ & $1,3348$ & $498$\\ + $4$ & C\\ + &$\shortdownarrow$ gr. Terz & $\frac{5}{4}$ & $4$ & $1,2599$ & $386$\\ + $5$ & E \\ + &$\shortdownarrow$ kl. Terz & $\frac{6}{5}$ & $3$ & $1,1892$ & $316$\\ + $6$ & G\\ + &$\shortdownarrow$ & $\frac{7}{6}$ & $3$? & & $267$\\ + $7$ & B ? \\ + &$\shortdownarrow$ & $\frac{8}{7}$ & $2$? & & $231$\\ + $8$ & C\\ + &$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{9}{8}$ & $2$ & $1,1225$ & $204$\\ + $9$ & D \\ + &$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{10}{9}$ & 2 & $1,1225$& $182$\\ + $10$ & E \\ + + \end{tabular} +\end{table} + +\begin{observe} + $\frac{9}{8} = \frac{10}{9}$ ??? +\end{observe} + +Es ergeben sich außerdem +\begin{table}[htpb] + \centering + \caption{Intervalle} + \label{tab:intervale} + \begin{tabular}{lll} + Intervall & Verhältnis & Reines Intervall (Cent)\\ + gr. Sexte & $\frac{5}{3}$ &$884$\\ + kl. Sexte & $\frac{8}{5}$ &$814$\\ + kl. Septime & $\frac{9}{5} \approx \frac{7}{4}$ & $1018 \approx 969$\\ + Tritonus & $\sqrt{2}$ + \end{tabular} +\end{table} + + +\begin{remark} + Es ergibt sich als Frequenzverhältnis (in Bezug auf C) + für gis (über E) $25:16$ + und für as $8:5$. Diese Töne sind hier also tatsächlich verschieden. +\end{remark} + +\todo{Skizze: Versuch der Konstruktion eines Tonvorrates mit sauberen Intervallen} + +Buchempfehlung: R. Duffin - ``How equal temperament ruined harmony - and why you should care''. + + + +\todo{Bild Flageoletttöne} + + +Da das leider nicht genau aufgeht definieren wir als atomares Intervall: + +\begin{definition}[Halbton] +\vocab{Halbton} $\coloneqq 2^{\frac{1}{12}}$. +Dieses Stimmungssystem nennt sich \vocab{EDO12} oder auch \vocab{12-TET}. +\end{definition} + +Dementsprechend ist ein Intervall mit $n$ Halbtonschritten definiert als $2^{\frac{n}{12}}$. + +Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner: +\begin{definition}[Cent] + \vocab{Cent} $\coloneqq 2^{\frac{1}{1200}}$ +\end{definition} + +\begin{remark} + Die Wahrnehmungsschwelle liegt bei \todo{Recherchieren} +\end{remark} diff --git a/musiktheorie.sty b/musiktheorie.sty index 75b22dd..6daeb91 100644 --- a/musiktheorie.sty +++ b/musiktheorie.sty @@ -4,5 +4,8 @@ \RequirePackage{fancythm} \RequirePackage{tikz-cd} \RequirePackage{mkessler-math} -\RequirePackage{float} +%\RequirePackage{float} \RequirePackage{mkessler-hypersetup} +\RequirePackage{mkessler-vocab} +\RequirePackage{mkessler-mathalias} +\RequirePackage{todonotes} diff --git a/musiktheorie.tex b/musiktheorie.tex index 48d6012..b9f9b17 100644 --- a/musiktheorie.tex +++ b/musiktheorie.tex @@ -16,7 +16,7 @@ \tableofcontents \cleardoublepage -\input{uebersicht.tex} +\input{inputs/uebersicht.tex} \end{document} diff --git a/skizzen.xopp b/skizzen.xopp new file mode 100644 index 0000000..2cbc8d1 Binary files /dev/null and b/skizzen.xopp differ diff --git a/uebersicht.tex b/uebersicht.tex deleted file mode 100644 index 0d29a37..0000000 --- a/uebersicht.tex +++ /dev/null @@ -1,135 +0,0 @@ -\section{Übersicht} - -\subsection{Was ist Musiktheorie?} - - -\paragraph{Musik} -\begin{itemize} - \item Melodien - \item Harmonien - \item Rhythmus - \item Dynamik - \item Instrumente - \begin{itemize} - \item Klangfarbe - \end{itemize} - \item Erzählungsstruktur -\end{itemize} - - - -\begin{figure}[H] - \centering - \begin{tikzcd} - \text{Noten} \arrow{r}{}& \text{Instrumente}\arrow{d}{}\\ - & \text{Schall}\arrow{d}{} \\ - \text{Empfindung} \arrow{uu}{\text{komponieren}} & \text{Ohr}\arrow{l}{} - \end{tikzcd} - \label{musikkomdiag} -\end{figure} - - -\paragraph{Theorie} -\begin{itemize} - \item Abstraktion - \item Analyse - \item Struktur/Erklärungen - \item Modell - \item generiert falsifizierbare Hypothesen - \item grenzt (mit Absicht!) gegenüber nicht-weißer Musik ab -\end{itemize} - -Mathematik: -\begin{itemize} - \item Axiome - \item Folgerungen - \item (Konventionen) -\end{itemize} - -Naturwissenschaften: - -Eine Theorie sollte auf einfachen Annahmen beruhen und daraus Vorhersagen über die Realität ermöglichen. - -\paragraph{Musiktheorie} - -Wunsch -\begin{itemize} - \item Allgemein gültige Theorie (erklärt alle Musikstücke) - \item Empfindung erklären (siehe \autoref{musikkomdiag}) - \item Klassifikation von Musik - \item Abgrenzung zu nicht-Musik - \item Neue Musik generieren $\leadsto$ Hypothesentest -\end{itemize} - - -Realität -\begin{itemize} - \item Gültigkeit beschränkt auf westliche, europäische Musik, ausgewählter männlicher, weißer Künstler aus dem 16. - 20. Jh. - \item Klassifikation funktioniert innerhalb des Gültigkeitsbereiches recht gut. - \item Heuristiken - \item Erklärung funktioniert nicht - \item Hilfsmittel zum Generieren neuer Musik -\end{itemize} - - - - -Empfehlung: \url{https://www.youtube.com/watch?v=Kr3quGh7pJA} - - - -\subsection{Aspekte von Musiktheorie} - -Worüber trifft Musiktheorie Aussagen? - -\begin{itemize} - \item Tonleitern (Auswahl aus dem Tonvorrat) - Axiom - \item Tonart (Tonleiter mit Grundton) - Axiom - \item Harmonie - \begin{itemize} - \item Intervalle - Folgerung - \item Akkorde - Folgerung - \begin{itemize} - \item Terzschichtungen - Konvention - \end{itemize} - \item Kadenzen - Folgerung? - \item Konsonanz, Dissonanz - Axiom - \end{itemize} - \item Tonsatz, z.B. Generalbass - Folgerung - \item Betonung - Konvention - \item Rhythmus - Konvention - \item Formlehre - Konvention - \item Melodien / Stimmführung - Axiom - \item Modulation - Folgerung - \item Instrumentation - Konvention - \item Tonvorrat - Axiom - \item Kammerton - Konvention - \item Enharmonik - Folgerung - \item Notation - Konvention -\end{itemize} - - -\begin{question} - Existieren Leittöne auch in anderen Musikrichtungen? -\end{question} - -\paragraph{Stilmittel} -\begin{itemize} - \item Vibrato - \item Glissando - \item Flageoletttöne - \item Verzerrungen - \item Verzierungen -\end{itemize} - - -Einige Aspekte werden in klassischer Musiktheorie nicht behandelt: - -\begin{itemize} - \item Stimmungssysteme - \item Rhythmus - \item Dynamik - \item Klangfarbe - \item Raumzeit$^\text{TM}$ -\end{itemize} -