\section{Akkorde}

\begin{definition}[Akkord]
    Ein \vocab{Akkord} ist eine Menge von mindestens $3$ Tönen. 
\end{definition}

\begin{notation}
    Für Töne mit Frequenzen $n \cdot  \alpha, m \cdot  \alpha,\ldots$ notieren wir im Folgenden $n:m:\ldots$.
\end{notation}

\begin{example}
    Der Akkord $2:3:4$ wird als \vocab{Powerchord} bezeichnet.

    \begin{itemize}
        \item linear: $2,3,4$
        \item quadratisch:  $1,2,4,5,6,6,7,1,8$
    \end{itemize}

    Verglichen mit der Quinte (\autoref{quinte}) kommen einige Kombinationstöne mehrfach, d.h.~lauter, vor.

    TODO: Noten cgc

\includegraphics{lilypond/cgc.pdf}
\end{example}

\begin{example}[Dur-Akkord]
    Wir betrachten den Akkord $3:4:5$.


     \begin{itemize}
        \item linear: $3,4,5$
        \item quadratisch: ...
    \end{itemize}

    Die Kombinationstöne ergeben ein Obertonspektrum des mittleren Tones.
    TODO: Noten cfa
\end{example}


\begin{example}
    Wir betrachten den Akkord $3:4:6$.
    
    TODO: Noten cfc
\end{example}

\begin{example}
    $3:5:6$

    TODO: Noten cac

    Als Grundton ergibt sich ein f, welches allerdings im Akkord nicht vorkommt.
\end{example}

\begin{example}[Dur-Akkord, Grundstellung]
    $4:5:6$

    TODO: Noten fac
    
    Als Grundton ergibt sich ein $f$.
\end{example}

\begin{example}
    $4:5:7$

    TODO: Noten f a es?
    
\end{example}

\begin{example}
    $4:6:7$

    TODO: Noten f c es?
    

    $F_{3\!\!\!/}^7$
\end{example}

\begin{example}
    $4:5:6:7$

    Dur-Septakkord $F^7$
    TODO: Noten f a c es?

%    Dieser Akkord mit reiner Septime entspricht nicht dem normalerweise verwendeten Dur-Septakkord.
\end{example}

\begin{example}
    Der Akkord $5:6:7$ wird als \vocab{verminderter Akkord} bezeichnet.
    
    TODO: Noten a c es?
    $F\!\!\!\!/^7$

\end{example}

\begin{example}
    $5:6:8 $ wird als \vocab{Neapolitaner} bezeichnet.

    TODO: Noten acf
    
\end{example}

\begin{example}[Moll-Akkord]

    Der Akkord $10:12:15$ wird als \vocab{Moll-Akkord} bezeichnet.

    TODO: Noten f as c
    
    Als Grundton der Kombinationstöne ergibt sich ein des, der \vocab{Gegenklang} zu f.
\end{example}

\begin{example}[Großer Dur-Septakkord]

    $8:10:12:15$

    TODO: Noten des f as c

     $D\flat^{\text{maj}7}$
    
\end{example}

\begin{example}[Moll-Septakkord]
    $10 : 12 : 15 : 18$

    TODO: Noten f as c es

    Als Grundton der Kombinationstöne ergibt sich ein des. 
    Allerdings ist auch das as relativ stark vorhanden.

    
\end{example}

\begin{example}
    $4:5:6:7:9$

    TODO: Noten f a c es? g    

    $F^{7,9}$
\end{example}

\begin{quote}
    ``Wenn wir Jazz machen, packen wir einfach noch ein paar Terzen drauf.''
    
\end{quote}

\begin{example}[Sixte ajout\'ee]
    $10 : 12 : 15 : 17$ heißt \vocab{Sixte ajout\'ee}.

    TODO: Noten e g h cis

    $C\!\!\!\!/\,\,\,^{\text{maj}7,>8}$

    $12 : 17$ ist ein Tritonus (etwas größer als $\sqrt{2} $).


    Mit Oktavreduktion\footnote{Es handelt sich nicht wirklich um Oktavreduktion, das Verhältnis ändert sich. ($10 : 12 : 15 : 17 \neq  6: 7 : 9 : 10 (A\!\!\!/\,\,^{7,9}/E$)} lässt sich der Akkord umschreiben zu
    
    TODO: Noten cis e g h
    ($5:6:7:9$, $A\!\!\!/^{7,9}$, kein Sixte ajout\'ee)


\end{example}

\begin{question}
    Ist Oktavreduktion überhaupt sinnvoll?
\end{question}


\todo{Jupyter Notebook (Appendix?)}
 
\paragraph{Exkurs: Kirchenglocken}
Es ist Sonntag, daher läuten gerade Kirchenglocken. Hier kann man den \vocab{Dopplereffekt} hören.


\begin{remark}
    Diese Sichtweise ist stark geprägt von Akkorden. Wenn man Melodien intoniert, so kommt man teilweise zu gegensätzlichen Ergebnissen. Auf der Geige ist beispielsweise ein $g\sharp$ höher als  $a\flat$.

    Siehe auch ``How equal temperament ruined harmony'' S. 47 und 78.
\end{remark}


\begin{remark}
Nach Leopold Mozart teilt sich der Ganzton in eine großen und einen kleinen Halbton, welche im Verhältnis $5 : 4$ stehen. Im Wesentlichen beschreibt das EDO53.
\end{remark}


TODO: c-Dur Tonleiter mit reinen Dur-Akkorden

\begin{table}[htpb]
    \centering
    \caption{C-Dur Tonleiter mit reinen Dur-Akkorden}
    \begin{tabular}{c|cccccccccccccccc}
        Ton&c   && d && e && f && g && a && h && c \\
        Verhältnis & $\frac{1}{1}$ && $\frac{9}{8}$ && $\frac{5}{4}$ && $ \frac{4}{3}$ && $ \frac{3}{2}$ && $\frac{5}{3}$ && $\frac{15}{8}$ && $\frac{2}{1}$\\
        Schritt & & $\frac{9}{8}$&  & $\frac{10}{9}$&  & $\frac{16}{15}$&  & $\frac{9}{8}$&  & $\frac{10}{9}$&  & $\frac{9}{8}$&  & $\frac{16}{15}$& \\

    \end{tabular}
    \label{cdurrein}
\end{table}

Bei Einteilung eines Ganztones ist großen und kleinen Halbton ergeben sich als Schritte $9+8+5+9+8+9+5= 53$.

\todo{EDO12 Tonleiter vs Tonleiter mit reinen Akkorden ausprobieren}


\begin{notation}[Notation für 5-limit-tuning]
   Töne werden immer pythagoräisch notiert. Mit einem $,$ oder ${}^,$ wird eine Verschiebung nach unten oder oben notiert. 

   \autoref{cdurrein} wird so als $c~ d~ e,~f~ g~ a,~ h,~ c$ notiert.
\end{notation}


\begin{table}[htpb]
    \centering
    \caption{Intervalle in EDO53}
    \label{tab:intervalleedo53}
    \begin{tabular}{c|ccc}
        Intervall & EDO53 & rein & EDO12\\
        \hline
        kl. Sekunde & $3$, $4$,  $5$ & $\frac{25}{24}$, $?$,  $\frac{16}{15}$ \\
        große Sekunde & $8$, $9$ & $\frac{10}{9}$, $\frac{9}{8}$& $\checked (\frac{9}{8})$, $-4 ct$ \\
        kleine Terz & $13$, $14$ & $\frac{32}{17}$, $\frac{6}{5}$ & $(\checked) (\frac{32}{27})$, $+6ct.$\\
    große Terz & $17$,  $18$ &  $\frac{5}{4}$, $\frac{81}{64}$ & $(\checked) (\frac{81}{64})$, $-8ct.$ \\
    Quarte & $22$ & $\frac{4}{3}$ & $\checked$, $+2ct.$\\
    Tritonus & $26$, $27$ &  $\sqrt{2} \approx \frac{7}{5}, \frac{10}{7}, \frac{17}{2}$ \\
    Quinte & $31$ &  $\frac{3}{2}$ & $\checked$, $-2ct.$\\
    kl. Sexte & $35$, $36$ &  $\frac{128}{81}, \frac{8}{5}$\\
    gr. Sexte & $39$,  $40$ & $\frac{5}{3}, \frac{27}{16}$ & $(\checked) (\frac{27}{16})$, $-6ct.$\\
    kl. Septime & $43$, $44$,  $45$ & $\frac{7}{4}$, $\frac{16}{9}$, $\frac{9}{5}$ &  $\checked (\frac{16}{9})+4ct.$\\
    \end{tabular}
\end{table}


\todo{Aufgabe 2, Stück in EDO53}

 \begin{definition}
     \vocab{leittönig} $\coloneqq$ keine großen Halbtonschritte
     
 \end{definition}


 Buchempfehlung: ``A Geometry of Music'' - Dmitri Tymoczko

 \begin{definition}
     Wir definieren eine Metrik auf der Menge der Tonvorräte, wobei $\text{dist}(T, T')$ die minimale Anzahl an Halbtonschritten sei, die geändert werden müssen, um von $T$ zu $T'$ zu gelangen.
 \end{definition}


 \begin{definition}
     Eine \vocab{Modulation} ist ein Wechsel c$\sharp$\footnote{Enhamonisch auch als $d\flat$ bekannt} Tonvorrates, der nicht auf komplett absurde Weise geschieht. (``lokal sinnvoll'')    
 \end{definition}

 Tonvorräte:
 \begin{itemize}
     \item $n=2$ :
         \begin{itemize}
             \item 6,6 (Halbtonschritte EDO12)
                 z.B. $C, F\sharp$
             \item  $7,5$ 
                 z.B. $C,G$
         \end{itemize}
 \end{itemize}
