\section{Übersicht}

\subsection{Was ist Musiktheorie?}


\paragraph{Musik}
\begin{itemize}
    \item Melodien
    \item Harmonien
    \item Rhythmus
    \item Dynamik
    \item Instrumente
        \begin{itemize}
            \item Klangfarbe
        \end{itemize}
    \item Erzählungsstruktur
\end{itemize}



\begin{figure}
    \centering
    \begin{tikzcd}
        \text{Noten} \arrow{r}{}& \text{Instrumente}\arrow{d}{}\\	
                         & \text{Schall}\arrow{d}{} \\
        \text{Empfindung} \arrow{uu}{\text{komponieren}}       & \text{Ohr}\arrow{l}{}
    \end{tikzcd}
    \label{musikkomdiag}
\end{figure}


\paragraph{Theorie}
\begin{itemize}
    \item Abstraktion
    \item Analyse
    \item Struktur/Erklärungen
    \item Modell
    \item generiert falsifizierbare Hypothesen
\end{itemize}

Mathematik:
\begin{itemize}
    \item Axiome
    \item Folgerungen
    \item (Konventionen)
\end{itemize}

Naturwissenschaften:

Eine Theorie sollte auf einfachen Annahmen beruhen und daraus Vorhersagen über die Realität ermöglichen.

\paragraph{Musiktheorie}

Wunsch
\begin{itemize}
    \item Allgemein gültige Theorie (erklärt alle Musikstücke)
    \item Empfindung erklären (siehe \autoref{musikkomdiag})
    \item Klassifikation von Musik
    \item Abgrenzung zu nicht-Musik
    \item Neue Musik generieren $\leadsto$ Hypothesentest
\end{itemize}


Realität
\begin{itemize}
    \item Gültigkeit beschränkt auf westliche, europäische Musik, ausgewählter männlicher, weißer Künstler aus dem 16. - 20. Jh.
    \item Klassifikation funktioniert innerhalb des Gültigkeitsbereiches recht gut.
    \item Heuristiken
    \item Erklärung funktioniert nicht
    \item Hilfsmittel zum Generieren neuer Musik
    \item grenzt (mit Absicht!\footnote{Empfehlung: \url{https://www.youtube.com/watch?v=Kr3quGh7pJA}}) gegenüber nicht-weißer Musik ab
\end{itemize}







\subsection{Aspekte von Musiktheorie}

Worüber trifft Musiktheorie Aussagen?

\begin{itemize}
    \item Tonleitern (Auswahl aus dem Tonvorrat) - Axiom
    \item Tonart (Tonleiter mit Grundton) - Axiom
    \item Harmonie
    \begin{itemize}
        \item Intervalle - Folgerung
        \item Akkorde - Folgerung 
        \begin{itemize}
            \item Terzschichtungen - Konvention
        \end{itemize}
        \item Kadenzen - Folgerung?
        \item Konsonanz, Dissonanz - Axiom
    \end{itemize}
    \item Tonsatz, z.B. Generalbass - Folgerung
    \item Betonung - Konvention
    \item Rhythmus - Konvention
    \item Formlehre - Konvention
    \item Melodien / Stimmführung - Axiom
    \item Modulation - Folgerung
    \item Instrumentation - Konvention
    \item Tonvorrat - Axiom
    \item Kammerton - Konvention
    \item Enharmonik - Folgerung
    \item Notation - Konvention
\end{itemize}


\begin{question}
    Existieren Leittöne auch in anderen Musikrichtungen?
\end{question}

\paragraph{Stilmittel}
\begin{itemize}
    \item Vibrato
    \item Glissando
    \item Flageoletttöne
    \item Verzerrungen
    \item Verzierungen
\end{itemize}


Einige Aspekte werden in klassischer Musiktheorie nicht behandelt:

\begin{itemize}
    \item Stimmungssysteme
    \item Rhythmus
    \item Dynamik
    \item Klangfarbe
    \item Raumzeit$^\text{TM}$
\end{itemize}


Wir wollen im Folgenden Musiktheorie aus Mathematik und möglichst einfachen Axiomen aufzubauen.

\subsection{Intervalle}

\begin{definition}[Schall]
    \vocab{Schall} ist eine Funktion $f: \text{Zeit} \to \text{Druck}$ bzw. $f: \text{Zeit} \to  \text{Luftbewegung}$
\end{definition}

\begin{definition}[Ton]
    Ein \vocab{Ton} entspricht einer Schwingungsfrequenz.
\end{definition}

\begin{observe}
    Die Funktion $\sin(2\pi \cdot f \cdot t)$ ist periodisch mit $T_0$ genau dann, wenn $f = k \cdot \frac{1}{T_0}$ für ein $k \in \Z$.
\end{observe}

\begin{definition}[Lineares Modell der MTT]
    Jede Funktion mit Periode $T_0$ kann als Summe von Funktionen der Form $a \cdot \sin(2\pi \cdot f \cdot t), a\cdot \cos(2\pi\cdot f\cdot t)$, $f = k \cdot \frac{1}{T_0}, a \in \R, k \in \Z$ dargestellt werden.
    
    Für $k=1$ ergibt sich die \vocab{Grundfrequenz} $\frac{2\pi}{T}$, für $k \ge 2$ reden wir von \vocab[Oberton]{Obertönen}.
\end{definition}


\todo{Obertöne Saiteninstrument (Alle Obertöne), Flöte, Querflöte (Obertöne nur für $k \in 2\N + 1$)}



\begin{table}[htpb]
    \centering
    \caption{Obertöne}
    \label{tab:obertoene}
    \begin{tabular}{clcccc}
        $k$ & Ton & Frequenz-& Halb- & EDO12 & Reine Intervalle\\ 
            & & verhältnis & töne& &(Cent) \\
            \hline
        $1$ & C \\
            & $\shortdownarrow$ Oktave & $2$ & $10$ & $2,000$ & $1200$\\
        $2$ & C \\
            & $\shortdownarrow$ Quinte & $\frac{3}{2}$ & $7$ & $1,4989$ & $702$\\
        $3$ & G \\
            &$\shortdownarrow$ Quarte & $\frac{4}{3}$ & $5$ & $1,3348$ & $498$\\
        $4$ & C\\ 
            &$\shortdownarrow$   gr. Terz & $\frac{5}{4}$ & $4$ & $1,2599$ & $386$\\
        $5$ & E \\
            &$\shortdownarrow$  kl. Terz & $\frac{6}{5}$ & $3$ & $1,1892$ & $316$\\
        $6$ & G\\
            &$\shortdownarrow$  & $\frac{7}{6}$ & $3$? & & $267$\\
        $7$ & B ? \\
            &$\shortdownarrow$  & $\frac{8}{7}$ & $2$? & & $231$\\
        $8$ & C\\
            &$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{9}{8}$ & $2$ & $1,1225$ & $204$\\
        $9$ & D \\
            &$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{10}{9}$ & 2 & $1,1225$& $182$\\
        $10$ & E \\

    \end{tabular}
\end{table}

\begin{observe}
    $\frac{9}{8} = \frac{10}{9}$ ???
\end{observe}

Es ergeben sich außerdem
\begin{table}[htpb]
    \centering
    \caption{Intervalle}
    \label{tab:intervale}
    \begin{tabular}{lll}
        Intervall & Verhältnis & Reines Intervall (Cent)\\
        gr. Sexte & $\frac{5}{3}$ &$884$\\
        kl. Sexte & $\frac{8}{5}$ &$814$\\
        kl. Septime & $\frac{9}{5} \approx \frac{7}{4}$ & $1018 \approx 969$\\
        Tritonus & $\sqrt{2}$
    \end{tabular}
\end{table}


\begin{remark}
   Es ergibt sich als Frequenzverhältnis (in Bezug auf C) 
   für gis (über E) $25:16$ 
   und für as $8:5$. Diese Töne sind hier also tatsächlich verschieden.
\end{remark}

\todo{Skizze: Versuch der Konstruktion eines Tonvorrates mit sauberen Intervallen}

Buchempfehlung: R. Duffin - ``How equal temperament ruined harmony - and why you should care''.



\todo{Bild Flageoletttöne}


Da das leider nicht genau aufgeht definieren wir als atomares Intervall:

\begin{definition}[Halbton]
\vocab{Halbton} $\coloneqq 2^{\frac{1}{12}}$.
Dieses Stimmungssystem nennt sich \vocab{EDO12} oder auch \vocab{12-TET}.
\end{definition}

Dementsprechend ist ein Intervall mit $n$ Halbtonschritten definiert als $2^{\frac{n}{12}}$.

Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner:
\begin{definition}[Cent]
    \vocab{Cent} $\coloneqq 2^{\frac{1}{1200}}$
\end{definition}

\begin{remark}
    Die Wahrnehmungsschwelle liegt bei \todo{Recherchieren} 
\end{remark}