\section{Akkorde} \begin{definition}[Akkord] Ein \vocab{Akkord} ist eine Menge von mindestens $3$ Tönen. \end{definition} \begin{notation} Für Töne mit Frequenzen $n \cdot \alpha, m \cdot \alpha,\ldots$ notieren wir im Folgenden $n:m:\ldots$. \end{notation} \begin{example} Der Akkord $2:3:4$ wird als \vocab{Powerchord} bezeichnet. \begin{itemize} \item linear: $2,3,4$ \item quadratisch: $1,2,4,5,6,6,7,1,8$ \end{itemize} Verglichen mit der Quinte (\autoref{quinte}) kommen einige Kombinationstöne mehrfach, d.h.~lauter, vor. TODO: Noten cgc \includegraphics{lilypond/cgc.pdf} \end{example} \begin{example}[Dur-Akkord] Wir betrachten den Akkord $3:4:5$. \begin{itemize} \item linear: $3,4,5$ \item quadratisch: ... \end{itemize} Die Kombinationstöne ergeben ein Obertonspektrum des mittleren Tones. TODO: Noten cfa \end{example} \begin{example} Wir betrachten den Akkord $3:4:6$. TODO: Noten cfc \end{example} \begin{example} $3:5:6$ TODO: Noten cac Als Grundton ergibt sich ein f, welches allerdings im Akkord nicht vorkommt. \end{example} \begin{example}[Dur-Akkord, Grundstellung] $4:5:6$ TODO: Noten fac Als Grundton ergibt sich ein $f$. \end{example} \begin{example} $4:5:7$ TODO: Noten f a es? \end{example} \begin{example} $4:6:7$ TODO: Noten f c es? $F_{\cancel{3}}^7$ \end{example} \begin{example} $4:5:6:7$ Dur-Septakkord $F^7$ TODO: Noten f a c es? % Dieser Akkord mit reiner Septime entspricht nicht dem normalerweise verwendeten Dur-Septakkord. \end{example} \begin{example} Der Akkord $5:6:7$ wird als \vocab{verminderter Akkord} bezeichnet. TODO: Noten a c es? $\cancel{F}^7$ \end{example} \begin{example} $5:6:8 $ wird als \vocab{Neapolitaner} bezeichnet. TODO: Noten acf \end{example} \begin{example}[Moll-Akkord] Der Akkord $10:12:15$ wird als \vocab{Moll-Akkord} bezeichnet. TODO: Noten f as c Als Grundton der Kombinationstöne ergibt sich ein des, der \vocab{Gegenklang} zu f. \end{example} \begin{example}[Großer Dur-Septakkord] $8:10:12:15$ TODO: Noten des f as c $D\flat^{\text{maj}7}$ \end{example} \begin{example}[Moll-Septakkord] $10 : 12 : 15 : 18$ TODO: Noten f as c es Als Grundton der Kombinationstöne ergibt sich ein des. Allerdings ist auch das as relativ stark vorhanden. \end{example} \begin{example} $4:5:6:7:9$ TODO: Noten f a c es? g $F^{7,9}$ \end{example} \begin{quote} ``Wenn wir Jazz machen, packen wir einfach noch ein paar Terzen drauf.'' \end{quote} \begin{example}[Sixte ajout\'ee] $10 : 12 : 15 : 17$ heißt \vocab{Sixte ajout\'ee}. TODO: Noten e g h cis $\cancel{C}^{\text{maj}7,>8}$ $12 : 17$ ist ein Tritonus (etwas größer als $\sqrt{2} $). Mit Oktavreduktion\footnote{Es handelt sich nicht wirklich um Oktavreduktion, das Verhältnis ändert sich. ($10 : 12 : 15 : 17 \neq 6: 7 : 9 : 10 (\cancel{A}^{7,9}/E$)} lässt sich der Akkord umschreiben zu TODO: Noten cis e g h ($5:6:7:9$, $\cancel{A}^{7,9}$, kein Sixte ajout\'ee) \end{example} \begin{question} Ist Oktavreduktion überhaupt sinnvoll? \end{question} \todo{Jupyter Notebook (Appendix?)} \paragraph{Exkurs: Kirchenglocken} Es ist Sonntag, daher läuten gerade Kirchenglocken. Hier kann man den \vocab{Dopplereffekt} hören. \begin{remark} Diese Sichtweise ist stark geprägt von Akkorden. Wenn man Melodien intoniert, so kommt man teilweise zu gegensätzlichen Ergebnissen. Auf der Geige ist beispielsweise ein $g\sharp$ höher als $a\flat$. Siehe auch ``How equal temperament ruined harmony'' S. 47 und 78. \end{remark} \begin{remark} Nach Leopold Mozart teilt sich der Ganzton in eine großen und einen kleinen Halbton, welche im Verhältnis $5 : 4$ stehen. Im Wesentlichen beschreibt das EDO53. \end{remark} TODO: c-Dur Tonleiter mit reinen Dur-Akkorden \begin{table}[htpb] \centering \caption{C-Dur Tonleiter mit reinen Dur-Akkorden} \begin{tabular}{c|cccccccccccccccc} Ton&c && d && e && f && g && a && h && c \\ Verhältnis & $\frac{1}{1}$ && $\frac{9}{8}$ && $\frac{5}{4}$ && $ \frac{4}{3}$ && $ \frac{3}{2}$ && $\frac{5}{3}$ && $\frac{15}{8}$ && $\frac{2}{1}$\\ Schritt & & $\frac{9}{8}$& & $\frac{10}{9}$& & $\frac{16}{15}$& & $\frac{9}{8}$& & $\frac{10}{9}$& & $\frac{9}{8}$& & $\frac{16}{15}$& \\ \end{tabular} \label{cdurrein} \end{table} Bei Einteilung eines Ganztones ist großen und kleinen Halbton ergeben sich als Schritte $9+8+5+9+8+9+5= 53$. \todo{EDO12 Tonleiter vs Tonleiter mit reinen Akkorden ausprobieren} \begin{notation}[Notation für 5-limit-tuning] Töne werden immer pythagoräisch notiert. Mit einem $,$ oder ${}^,$ wird eine Verschiebung nach unten oder oben notiert. \autoref{cdurrein} wird so als $c~ d~ e,~f~ g~ a,~ h,~ c$ notiert. \end{notation} \begin{table}[htpb] \centering \caption{Intervalle in EDO53} \label{tab:intervalleedo53} \begin{tabular}{c|ccc} Intervall & EDO53 & rein & EDO12\\ \hline kl. Sekunde & $3$, $4$, $5$ & $\frac{25}{24}$, $?$, $\frac{16}{15}$ \\ große Sekunde & $8$, $9$ & $\frac{10}{9}$, $\frac{9}{8}$& $\checked (\frac{9}{8})$, $-4 ct$ \\ kleine Terz & $13$, $14$ & $\frac{32}{17}$, $\frac{6}{5}$ & $(\checked) (\frac{32}{27})$, $+6ct.$\\ große Terz & $17$, $18$ & $\frac{5}{4}$, $\frac{81}{64}$ & $(\checked) (\frac{81}{64})$, $-8ct.$ \\ Quarte & $22$ & $\frac{4}{3}$ & $\checked$, $+2ct.$\\ Tritonus & $26$, $27$ & $\sqrt{2} \approx \frac{7}{5}, \frac{10}{7}, \frac{17}{2}$ \\ Quinte & $31$ & $\frac{3}{2}$ & $\checked$, $-2ct.$\\ kl. Sexte & $35$, $36$ & $\frac{128}{81}, \frac{8}{5}$\\ gr. Sexte & $39$, $40$ & $\frac{5}{3}, \frac{27}{16}$ & $(\checked) (\frac{27}{16})$, $-6ct.$\\ kl. Septime & $43$, $44$, $45$ & $\frac{7}{4}$, $\frac{16}{9}$, $\frac{9}{5}$ & $\checked (\frac{16}{9})+4ct.$\\ \end{tabular} \end{table} \todo{Aufgabe 2, Stück in EDO53} \begin{definition} \vocab{leittönig} $\coloneqq$ keine großen Halbtonschritte \end{definition} Buchempfehlung: ``A Geometry of Music'' - Dmitri Tymoczko