\section{Intervalle}

\begin{definition}[Schall]
    \vocab{Schall} ist eine Funktion $f: \text{Zeit} \to \text{Druck}$ bzw. $f: \text{Zeit} \to  \text{Luftbewegung}$
\end{definition}

\begin{definition}[Ton]
    Ein \vocab{Ton} entspricht einer Schwingungsfrequenz.
\end{definition}

\begin{observe}
    Die Funktion $\sin(2\pi \cdot f \cdot t)$ ist periodisch mit $T_0$ genau dann, wenn $f = k \cdot \frac{1}{T_0}$ für ein $k \in \Z$.
\end{observe}

\begin{definition}[Lineares Modell der MTT]
    Jede Funktion mit Periode $T_0$ kann als Summe von Funktionen der Form $a \cdot \sin(2\pi \cdot f \cdot t), a\cdot \cos(2\pi\cdot f\cdot t)$, $f = k \cdot \frac{1}{T_0}, a \in \R, k \in \Z$ dargestellt werden.
    
    Für $k=1$ ergibt sich die \vocab{Grundfrequenz} $\frac{2\pi}{T}$, für $k \ge 2$ reden wir von \vocab[Oberton]{Obertönen}.
\end{definition}


\todo{Obertöne Saiteninstrument (Alle Obertöne), Flöte, Querflöte (Obertöne für $k \in 2\N + 1$ deutlich stärker vorhanden)}



\begin{table}[htpb]
    \centering
    \caption{Obertöne}
    \label{tab:obertoene}
    \begin{tabular}{clcccc}
        $k$ & Ton & Frequenz-& Halb- & EDO12 & Reine Intervalle\\ 
            & & verhältnis & töne& &(Cent) \\
            \hline
        $1$ & C \\
            & $\shortdownarrow$ Oktave & $2$ & $10$ & $2,000$ & $1200$\\
        $2$ & C \\
            & $\shortdownarrow$ Quinte & $\frac{3}{2}$ & $7$ & $1,4989$ & $702$\\
        $3$ & G \\
            &$\shortdownarrow$ Quarte & $\frac{4}{3}$ & $5$ & $1,3348$ & $498$\\
        $4$ & C\\ 
            &$\shortdownarrow$   gr. Terz & $\frac{5}{4}$ & $4$ & $1,2599$ & $386$\\
        $5$ & E \\
            &$\shortdownarrow$  kl. Terz & $\frac{6}{5}$ & $3$ & $1,1892$ & $316$\\
        $6$ & G\\
            &$\shortdownarrow$  & $\frac{7}{6}$ & $3$? & & $267$\\
        $7$ &  B$\flat$ ? \\
            &$\shortdownarrow$  & $\frac{8}{7}$ & $2$? & & $231$\\
        $8$ & C\\
            &$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{9}{8}$ & $2$ & $1,1225$ & $204$\\
        $9$ & D \\
            &$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{10}{9}$ & 2 & $1,1225$& $182$\\
        $10$ & E \\

    \end{tabular}
\end{table}

\begin{observe}
    $\frac{9}{8} = \frac{10}{9}$ ???
\end{observe}
Es ergeben sich außerdem:

\begin{table}[htpb]
    \centering
    \caption{Intervalle}
    \label{tab:intervale}
    \begin{tabular}{lll}
        Intervall & Verhältnis & Reines Intervall (Cent)\\
        gr. Sexte & $\frac{5}{3}$ &$884$\\
        kl. Sexte & $\frac{8}{5}$ &$814$\\
        kl. Septime & $\frac{9}{5} \approx \frac{7}{4}$ & $1018 \approx 969$\\
        Tritonus & $\sqrt{2}$
    \end{tabular}
\end{table}


\begin{remark}
   Es ergibt sich als Frequenzverhältnis (in Bezug auf C) 
   für gis (über E) $25:16$ 
   und für as $8:5$. Diese Töne sind hier also tatsächlich verschieden.
\end{remark}
\begin{remark}
   Auf der Violine spielt man häufig trotzdem das gis höher als das as. 
\end{remark}

\todo{Skizze: Versuch der Konstruktion eines Tonvorrates mit sauberen Intervallen}

Buchempfehlung: R. Duffin - ``How equal temperament ruined harmony - and why you should care''.



\todo{Bild Flageoletttöne}


Da das leider nicht genau aufgeht definieren wir als atomares Intervall:

\begin{definition}[Halbton]
\vocab{Halbton} $\coloneqq 2^{\frac{1}{12}}$.
Dieses Stimmungssystem nennt sich \vocab{EDO12} oder auch \vocab{12-TET}.
\end{definition}


Dementsprechend ist ein Intervall mit $n$ Halbtonschritten definiert als $2^{\frac{n}{12}}$.

Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner:
\begin{definition}[Cent]
    \vocab{Cent} $\coloneqq 2^{\frac{1}{1200}}$
\end{definition}

\begin{remark}
    Ein Unterschied von $10ct.$ ist hörbar, im direkten Vergleich konnten wir im Kurs auch Unterschiede von $3ct.$ hören.
    \url{https://sevish.com/scaleworkshop/}
\end{remark}


% Tag 3


\begin{definition}[Dur]
\vocab{Dur} bezeichnet sowohl eine Tonart, als auch den Akkord, der sich aus den Tönen der 1., 3.~und 5. Stufe dieser Tonart ergibt.


TODO: C-Dur-Tonleiter

Ein Dur-Akkord besteht aus einer großen und einer kleinen Terz, d.h.~die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{5}{4}, \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{4}$.
\end{definition}

\begin{definition}[Moll]
    
TODO: C-Moll-Tonleiter

Ein Moll-Akkord besteht aus einer kleinen und einer großen Terz, d.h.~die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{6}{5}, \frac{3}{2}$.
\end{definition}

\begin{definition}[Septakkord]
    Ein \vocab{Septakkord} fügt zusätzlich noch eine kleine Terz hinzu.
    Als Septime ergibt sich ein Frequenzverhältnis von $\frac{9}{5}$, $\frac{7}{4}$ oder $\frac{16}{9}$, je nachdem von wo aus der siebte Ton gesucht wird. Für Dur wirkt dabei $\frac{7}{4}$ (Septime zum Grundton) sinnvoller (?)\footnote{Unter der Annahme, dass der Dur-Dreiklang durch die Obertonreihe motiviert ist.}, für Moll $\frac{9}{5}$.
    
\end{definition}

\begin{problem}
Wir suchen ein \vocab{equal temperament} / eine \vocab{gleichstufige Stimmung}, die die wichtigsten Intervalle möglichst gut approximiert.
\end{problem}

Die ``Wichtigkeit'' eines Intervalls definieren wir dabei über die Größe des Nenners, d.h.~die Intervalle sind in absteigender Wichtigkeit: Oktave, Quinte, Quarte, gr. Terz, \dots

Falls sowohl Oktaven als auch Quinten übereinstimmen sollen, bräuchten wir $a,b \in \N_{>0}$, so dass $2^a = \left( \frac{3}{2} \right)^b$. Solche existieren offenbar nicht.

Reelle Lösungen existieren, mit $\frac{b}{a} = \frac{\log 2}{\log \frac{3}{2}}$. Mit Hilfe von \vocab[Kettenbruch]{Kettenbrüchen} finden wir möglichst gute Näherungen.


\begin{notation}[Kettenbruchzerlegung]
    Wir schreiben $[a;b,c,d,\ldots]$, $a \in \Z, b,c,d, \ldots \in  \N_{+}$ für
    \[
    a + \frac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d + \ldots}}}
    \] 
    
\end{notation}
Eine Näherung ist besser, je größer die erste weggelassene Zahl ist. Näherungen sich abwechselnd obere und untere Schranken.
\begin{example}
    \[
    \sqrt{2}  = [1; \overline{2}] = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \ldots}}}}
    \]
    da $\sqrt{2} -1 = \frac{1}{\sqrt{2} +1} = \frac{1}{2 + (\sqrt{2} -1)}$.

    Als Näherung ergibt sich beispielsweise
    \[
    [1;2,2,2] = 1+ \frac{1}{2+ \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} = \frac{17}{12} = 1,41\overline{6} 
    \] 
\end{example}


Die Kettenbruchentwicklung von $\frac{\log 2}{ \log \frac{3}{2}}$ ist $[1; 1,2,2,3,1,5,2,23, \ldots]$.
Näherungen sind:
\begin{itemize}


    \item $[1;1] = 2$

        Für die Quinte ergibt sich $2^{\frac{1}{2}} \approx 1,4142\ldots$
    \item $[1;1,2] = \frac{5}{3}$ (ein Halbtonschritt Abweichung, Pentatonik) 


        Quinte: $2^{\frac{5}{3}} \approx 1,5157\ldots$

        Die große Terz wird durch eine Quarte approximiert, $2^{\frac{2}{5}} = 1,319\ldots$

    \item $[1;1,2,2] = \frac{12}{7}$ (EDO12), 
        
        Quinte: $2^{\frac{7}{12}} \approx 1,49840\ldots$

        Gr. Terz: $2^{\frac{4}{12}} \approx 1,2599\ldots$

        Kl. Septime: $2^{\frac{10}{12}} \approx 1,781\ldots$


    \item $[1;1,2,2,3] = \frac{41}{24}$

        Quinte: $2^{\frac{24}{41}}  \approx 1,50042\ldots$

        Gr. Terz: $2^{\frac{13}{41}} \approx 1,2458\ldots$


    \item $[1;1,2,2,3,1] = \frac{53}{31}$ 
        Quinte: $2^{\frac{31}{53}} \approx 1,49994\ldots$

        Gr. Terz: $2^{\frac{17}{53}} \approx 1,24898\ldots$

        Kl. Septime: $2^{\frac{43}{53}} \approx 1,7548\ldots$


    \item $[1;1,2,2,3,1,5] = \frac{306}{179}$

        Quinte: $2^{\frac{197}{306}} \approx 1,5000050\ldots$

    \item $[1;1,2,2,3,1,5,2] = \frac{665}{389}$

\end{itemize}

Das optimiert zunächst nur Oktaven und Quinten. Da Quarten der Rest einer Quinte zur Oktave sind, werden diese ebenfalls gut approximiert.

Videos zu EDO53: \url{https://www.youtube.com/watch?v=ILcgB_kOWzM}, \url{https://www.youtube.com/watch?v=T5OvAjzWF2Y}, \url{https://www.youtube.com/watch?v=xVZy9GUeMqY}

Eine große Terz lässt sich durch Quinten erreichen, indem man 4 Quinten nach oben und 2 Oktaven nach unten geht. Als Frequenzverhältnis ergibt sich dann $\left( \frac{3}{2} \right)^4 \cdot  \frac{1}{2^2} = \frac{81}{64}$. Die Abweichung $\frac{81}{80}$ zum Frequenzverhältnis $\frac{5}{4}$ wird als \vocab{syntonisches Komma} bezeichnet ($21,5ct.$).
In EDO53 entspricht ein Tonschritt ($22,6ct.$ ) in etwa dem syntonischen Komma.

\begin{remark}[Bohlen-Pierce-Skala]
    $3^{\frac{k}{13}}, k \in \Z$. Ein einzelner Schritt liegt zwischen einem Halbton und einem Ganzton. Faktor $3$ und Faktor $5$ werden gut approximiert, aber es gibt keine sinnvolle Oktaven. 

    ``Ich will das jetzt nicht werten, aber ich würde es als experimentell bezeichnen.''
\end{remark}
\begin{remark}
    In der Musik aller Kulturen findet sich das Konzept einer Oktave.
\end{remark}

% Tag 4
\begin{question}
   Gibt es einen Grund dafür, dass rationale Intervalle gut klingen? 
\end{question}
\paragraph{Erinnerung: Lineares Modell}

\begin{figure}[H]
    \centering
    \begin{tikzcd}
        \text{Klang} \arrow{r}{}& \arrow{l}{} \text{Überlagerung von Frequenzen}	
    \end{tikzcd}
\end{figure}

\todo{Bild Dreiecksschwingung als Überlagerung von Frequenzen}

\[
\sin(\frac{2\pi}{T}\cdot t) - \frac{1}{3^2} \sin(3 \cdot \frac{2\pi}{T} t) + \frac{1}{5^2} \sin(5 \cdot  \frac{2\pi}{T}t) - \ldots
\]


\todo{Bild Fouriertransformation}


\begin{question}
    Ist die Phasenverschiebung der einzelnen Komponenten für den Klang relevant?
\end{question}
\todo{ausprobieren}


\todo{Diskrete Fouriertransformation aus AlMa abschreiben}
\todo{FFT}


\footnote{In Audacity kann man ein Frequenzspektrum unter Analyze $\to $ Plot Spectrum berechnen}

\begin{table}
    \centering
    \caption{Fouriertransformation}
    \begin{tabular}{ccc}
        & diskret & kontinuierlich \\
        endliche Länge & DFT / FFT & Fourieranalyse (diskrete Frequenzen) \\
        unendlich & braucht man nicht  & Fouriertransformation\\ 
    \end{tabular}
\end{table}

\begin{observe}
    Wenn zwei Töne aus einem Intervall mit rationalem Verhältnis zusammen klingen, fallen viele der Frequenzen aus dem Obertonspektrum zusammen.
\end{observe}
\todo{Bild dazu}

\paragraph{Erklärungsversuch} Bei Tönen, die nicht in einem rationalen Verhältnis stehen, werden Schwebungen im Obertonspektrum wahrgenommen und sorgen dafür, dass diese Intervalle nicht gut klingen.
Die Erklärung ist falsch: Auch bei reinen Sinustönen klingen rationale Intervalle besser als andere, jedoch haben diese kein Obertonspektrum. Ferner sind die Schwebungen vermutlich nicht wahrnehmbar.

\subsection{Nichtlineare Effekte}


Erinnerung:
    \begin{tikzcd}
        \text{Noten} \arrow{r}{1}& \text{Instrumente}\arrow{d}{2}\\	
                         & \text{Schall}\arrow{d}{3} \\
        \text{Empfindung} \arrow{uu}{\text{komponieren}}       & \text{Ohr}\arrow{l}{4}
    \end{tikzcd}


(1) und (2) können wir mit digitaler Technik kontrollieren.
Welche nichtlinearen Effekte können auftreten?

\begin{itemize}
    \item Dämpfung / Anregung (2)
    \item Ohr (3)
    \item neuronale Prozesse (Aktivierungsfunktion in ML) (4)
    \item Instabilität (1)
\end{itemize}

Für die Erklärung der Wahrnehmung von rationalen Intervallen scheinen Dämpfung und Instabilität nicht wichtig zu sein, denn die Intervalle klingen auch für reine Sinustöne gut.

\subsubsection{Ohr}

Es gibt keinen Grund anzunehmen, dass das Ohr Schall linear wahrnimmt. Beispielsweise die Trichterform des Gehörganges sorgt für Verzerrung

Annahme: Die Nichtlinearität wirkt nur auf die Auslenkung zum aktuellen Zeitpunkt.

Sei Schall gegeben durch $a(t)$ und eine nichtlineare Verzerrung $g$.

Sei $a(t) = \sin(\alpha t) + \sin(\beta t)$.

Wir können $g$ mit einer Taylorreihe approximieren\footnote{\url{https://www.youtube.com/watch?v=3d6DsjIBzJ4}}.

Sei $g(x) = c_0 + c_1x+ c_2x^2 + \ldots$.
Es ergibt sich für den quadratischen Term:
\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
    (\sin \alpha t + \sin \beta t)^2 &=& (\sin \alpha t)^2 + 2 \sin \alpha t \sin \beta t + (\sin \beta t)^2\\
                                     &=& \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 \alpha t + \cos(\alpha t - \beta t)  \cos (\alpha t + \beta t) 
                                      + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 \beta t\\
\end{IEEEeqnarray*}

Die hierdurch entstehenden Töne mit Frequenzen $\alpha - \beta, \ldots$ werden als \vocab[Kombinationston]{Kombinationstöne} bezeichnet.

\begin{observe}
    Für verschiedene $\alpha, \beta$ in der selben Größenordnung kann $\alpha - \beta$ von deutlich anderer Größenordnung sein.
\end{observe}

Bei einem rationalen Intervall wird hierdurch auch der Grundton hörbar (\vocab{Rekonstruktion des Grundtones}).

Man kann das ausprobieren ({\color{red}ACHTUNG UNANGENEHM!}): \url{http://szhorvat.net/pelican/combination-tones.html}

Siehe auch \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Beat_(acoustics)#Binaural_beats}.



Für das selbe Signal mit verschiedener Lautstärke, $b(t) \coloneqq \lambda a(t), \lambda < 1$, ändert sich dieser Effekt, bei größerer Lautstärke wird der Kombinationston relativ lauter. 

\begin{example}[Quinte]
    \label{quinte}
    Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $2\alpha$ und $3\alpha$.
    Als Kombinationstöne ergeben sich:
    \begin{itemize}
        \item linear: $2 \alpha, 3 \alpha$
        \item quadratisch: $4\alpha, \alpha, 5 \alpha, 6 \alpha$ 
        \item kubisch: $6 \alpha, \alpha, 7 \alpha, 9 \alpha, 4 \alpha, 8 \alpha$
        \item ...
    \end{itemize}
    Insgesamt ergibt sich der Grundton $\alpha$ mit einem Obertonspektrum.

\end{example}

\begin{example}[kl. Septime]
    Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $4 \alpha, 7 \alpha$
    \begin{itemize}
        \item linear: $4\alpha, 7 \alpha$
        \item quadratisch:  $3 \alpha, 8 \alpha, 11 \alpha, 14 \alpha$
        \item kubisch: $1 \alpha, 10 \alpha, 12 \alpha, 15 \alpha, 18 \alpha, 21 \alpha$
        \item ...
    \end{itemize}
    
\end{example}


\begin{example}[Quarte]
    Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $3 \alpha, 4 \alpha$
    \begin{itemize}
        \item linear: $3\alpha, 4 \alpha$
        \item quadratisch: $\alpha,6 \alpha, 7 \alpha, 8 \alpha$
    \end{itemize}

    Es ergibt sich eine oktavierte Version des höheren Tones mit Obertonspektrum.
\end{example}

\begin{example}[unsaubere Quinte]
    Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $2 \alpha, 2.99 \alpha$
    \begin{itemize}
        \item linear: $2 \alpha, 2.99 \alpha$ 
        \item quadratisch: $4\alpha, {\color{red}0.99 \alpha}, 4.99 \alpha, 5.98 \alpha$
        \item kubisch: ${\color{red}1.01\alpha}, 3.98 \alpha, 6 \alpha, 6. 99 \alpha, 7.98 \alpha, 8.97\alpha$
    \end{itemize}

    Es ergeben sich Schwebungen wischen den Kombinationstönen.

    Es ist unklar, ob die Schwebungen und/oder der sehr tiefe Kombinationston $0.02 \alpha$ dafür sorgt, dass das Intervall als unangenehm wahrgenommen wird.
\end{example}

