\section{Akkorde}

\begin{definition}[Akkord]
    Ein \vocab{Akkord} ist eine Menge von mindestens $3$ Tönen. 
\end{definition}

\begin{notation}
    Für Töne mit Frequenzen $n \cdot  \alpha, m \cdot  \alpha,\ldots$ notieren wir im Folgenden $n:m:\ldots$.
\end{notation}

\begin{example}
    Der Akkord $2:3:4$ wird als \vocab{Powerchord} bezeichnet.

    \begin{itemize}
        \item linear: $2,3,4$
        \item quadratisch:  $1,2,4,5,6,6,7,1,8$
    \end{itemize}

    Verglichen mit der Quinte (\autoref{quinte}) kommen einige Kombinationstöne mehrfach, d.h.~lauter, vor.

    TODO: Noten cgc
\end{example}

\begin{example}[Dur-Akkord]
    Wir betrachten den Akkord $3:4:5$.


     \begin{itemize}
        \item linear: $3,4,5$
        \item quadratisch: ...
    \end{itemize}

    Die Kombinationstöne ergeben ein Obertonspektrum des mittleren Tones.
    TODO: Noten cfa
\end{example}


\begin{example}
    Wir betrachten den Akkord $3:4:6$.
    
    TODO: Noten cfc
\end{example}

\begin{example}
    $3:5:6$

    TODO: Noten cac

    Als Grundton ergibt sich ein f, welches allerdings im Akkord nicht vorkommt.
\end{example}

\begin{example}[Dur-Akkord, Grundstellung]
    $4:5:6$

    TODO: Noten fac
    
    Als Grundton ergibt sich ein $f$.
\end{example}

\begin{example}
    $4:5:7$

    TODO: Noten f a es?
    
\end{example}

\begin{example}
    $4:6:7$

    TODO: Noten f c es?
    

    $F_{3\!\!\!/}^7$
\end{example}

\begin{example}
    $4:5:6:7$

    Dur-Septakkord $F^7$
    TODO: Noten f a c es?

%    Dieser Akkord mit reiner Septime entspricht nicht dem normalerweise verwendeten Dur-Septakkord.
\end{example}

\begin{example}
    Der Akkord $5:6:7$ wird als \vocab{verminderter Akkord} bezeichnet.
    
    TODO: Noten a c es?
    $F\!\!\!\!/^7$

\end{example}

\begin{example}
    $5:6:8$

    TODO: Noten acf
    
\end{example}

\begin{example}[Moll-Akkord]

    Der Akkord $10:12:15$ wird als \vocab{Moll-Akkord} bezeichnet.

    TODO: Noten f as c
    
    Als Grundton der Kombinationstöne ergibt sich ein des, der \vocab{Gegenklang} zu f.
\end{example}

\begin{example}[Großer Dur-Septakkord]

    $8:10:12:15$

    TODO: Noten des f as c

     $D\flat^{\text{maj}7}$
    
\end{example}

\begin{example}[Moll-Septakkord]
    $10 : 12 : 15 : 18$

    TODO: Noten f as c es

    Als Grundton der Kombinationstöne ergibt sich ein des. 
    Allerdings ist auch das as relativ stark vorhanden.

    
\end{example}

\begin{example}[Neopolitaner, Sixte ajout\'ee]

    $4:5:6:7:9$

    TODO: Noten f a c es? g    

    $F^{7,9}$
\end{example}
    
\begin{quote}
    ``Wenn wir Jazz machen, packen wir einfach noch ein paar Terzen drauf.''
    
\end{quote}