\section{Intervalle} \begin{definition}[Schall] \vocab{Schall} ist eine Funktion $f: \text{Zeit} \to \text{Druck}$ bzw. $f: \text{Zeit} \to \text{Luftbewegung}$ \end{definition} \begin{definition}[Ton] Ein \vocab{Ton} entspricht einer Schwingungsfrequenz. \end{definition} \begin{observe} Die Funktion $\sin(2\pi \cdot f \cdot t)$ ist periodisch mit $T_0$ genau dann, wenn $f = k \cdot \frac{1}{T_0}$ für ein $k \in \Z$. \end{observe} \begin{definition}[Lineares Modell der MTT] Jede Funktion mit Periode $T_0$ kann als Summe von Funktionen der Form $a \cdot \sin(2\pi \cdot f \cdot t), a\cdot \cos(2\pi\cdot f\cdot t)$, $f = k \cdot \frac{1}{T_0}, a \in \R, k \in \Z$ dargestellt werden. Für $k=1$ ergibt sich die \vocab{Grundfrequenz} $\frac{2\pi}{T}$, für $k \ge 2$ reden wir von \vocab[Oberton]{Obertönen}. \end{definition} \todo{Obertöne Saiteninstrument (Alle Obertöne), Flöte, Querflöte (Obertöne nur für $k \in 2\N + 1$)} \begin{table}[htpb] \centering \caption{Obertöne} \label{tab:obertoene} \begin{tabular}{clcccc} $k$ & Ton & Frequenz-& Halb- & EDO12 & Reine Intervalle\\ & & verhältnis & töne& &(Cent) \\ \hline $1$ & C \\ & $\shortdownarrow$ Oktave & $2$ & $10$ & $2,000$ & $1200$\\ $2$ & C \\ & $\shortdownarrow$ Quinte & $\frac{3}{2}$ & $7$ & $1,4989$ & $702$\\ $3$ & G \\ &$\shortdownarrow$ Quarte & $\frac{4}{3}$ & $5$ & $1,3348$ & $498$\\ $4$ & C\\ &$\shortdownarrow$ gr. Terz & $\frac{5}{4}$ & $4$ & $1,2599$ & $386$\\ $5$ & E \\ &$\shortdownarrow$ kl. Terz & $\frac{6}{5}$ & $3$ & $1,1892$ & $316$\\ $6$ & G\\ &$\shortdownarrow$ & $\frac{7}{6}$ & $3$? & & $267$\\ $7$ & B ? \\ &$\shortdownarrow$ & $\frac{8}{7}$ & $2$? & & $231$\\ $8$ & C\\ &$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{9}{8}$ & $2$ & $1,1225$ & $204$\\ $9$ & D \\ &$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{10}{9}$ & 2 & $1,1225$& $182$\\ $10$ & E \\ \end{tabular} \end{table} \begin{observe} $\frac{9}{8} = \frac{10}{9}$ ??? \end{observe} Es ergeben sich außerdem \begin{table}[htpb] \centering \caption{Intervalle} \label{tab:intervale} \begin{tabular}{lll} Intervall & Verhältnis & Reines Intervall (Cent)\\ gr. Sexte & $\frac{5}{3}$ &$884$\\ kl. Sexte & $\frac{8}{5}$ &$814$\\ kl. Septime & $\frac{9}{5} \approx \frac{7}{4}$ & $1018 \approx 969$\\ Tritonus & $\sqrt{2}$ \end{tabular} \end{table} \begin{remark} Es ergibt sich als Frequenzverhältnis (in Bezug auf C) für gis (über E) $25:16$ und für as $8:5$. Diese Töne sind hier also tatsächlich verschieden. \end{remark} \begin{remark} Auf der Violine spielt man häufig trotzdem das gis höher als das as. \end{remark} \todo{Skizze: Versuch der Konstruktion eines Tonvorrates mit sauberen Intervallen} Buchempfehlung: R. Duffin - ``How equal temperament ruined harmony - and why you should care''. \todo{Bild Flageoletttöne} Da das leider nicht genau aufgeht definieren wir als atomares Intervall: \begin{definition}[Halbton] \vocab{Halbton} $\coloneqq 2^{\frac{1}{12}}$. Dieses Stimmungssystem nennt sich \vocab{EDO12} oder auch \vocab{12-TET}. \end{definition} Dementsprechend ist ein Intervall mit $n$ Halbtonschritten definiert als $2^{\frac{n}{12}}$. Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner: \begin{definition}[Cent] \vocab{Cent} $\coloneqq 2^{\frac{1}{1200}}$ \end{definition} \begin{remark} Ein Unterschied von $10ct.$ ist hörbar, im direkten Vergelcih konnten wir im Kurs auch Unterschiede von $3ct.$ hören. \todo{Recherchieren} \url{https://sevish.com/scaleworkshop/} \end{remark} % Tag 3 \begin{definition}[Dur] \vocab{Dur} bezeichnet sowohl eine Tonart, als auch den Akkord, der sich aus den Tönen der 1., 3. und 5. Stufe dieser Tonart ergibt. %\begin{abc}[name=c-dur] % X: 1 % start of header % K: C % scale: C major % "Text"c2 G4 | (3FED c4 G2 | %\end{abc} \todo{C-Dur-Tonleiter} Ein Dur-Akkord besteht aus einer großen und einer kleinen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{5}{4}, \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{4}$. \end{definition} \begin{definition}[Moll] \todo{C-Moll-Tonleiter} Ein Moll-Akkord besteht aus einer kleinen und einer großen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{6}{5}, \frac{3}{2}$. \end{definition} \begin{definition}[Septakkord] Ein \vocab{Septakkord} fügt zusätzlich noch eine kleine Terz hinzu. Als Septime ergibt sich ein Frequenzverhältnis von $\frac{9}{5}$, $\frac{7}{4}$ oder $\frac{16}{9}$, je nachdem von wo aus der siebte Ton gesucht wird. Für Dur wirkt dabei $\frac{7}{4}$ (Septime zum Grundton) sinnvoller (?)\footnote{Unter der Annahme, dass der Dur-Dreiklang durch die Obertonreihe motiviert ist.}, für Moll $\frac{9}{5}$. \end{definition} \begin{problem} Wir suchen ein \vocab{equal temperament} / eine \vocab{gleichstufige Stimmung}, die die wichtigsten Intervalle möglichst gut approximiert. \end{problem} Die ``Wichtigkeit'' eines Intervalls definieren wir dabei über die Größe des Nenners, d.h. die Intervalle sind in absteigender Wichtigkeit: Oktave, Quinte, Quarte, gr. Terz, \dots Falls sowohl Oktaven als auch Quinten übereinstimmen sollen, bräuchten wir $a,b \in \N_{>0}$, so dass $2^a = \left( \frac{3}{2} \right)^b$. Solche existieren offenbar nicht. Reelle Lösungen existieren, mit $\frac{b}{a} = \frac{\log 2}{\log \frac{3}{2}}$. Mit Hilfe von \vocab[Kettenbruch]{Kettenbrüchen} finden wir möglichst gute Näherungen. \begin{notation}[Kettenbruchzerlegung] Wir schreiben $[a;b,c,d,\ldots]$, $a \in \Z, b,c,d, \ldots \in \N_{+}$ für \[ a + \frac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d + \ldots}}} \] \end{notation} Eine Näherung ist besser, je größer die erste weggelassene Zahl ist. Näherungen sich abwechselnd obere und untere Schranken. \begin{example} \[ \sqrt{2} = [1; \overline{2}] = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \ldots}}}} \] da $\sqrt{2} -1 = \frac{1}{\sqrt{2} +1} = \frac{1}{2 + (\sqrt{2} -1)}$. Als Näherung ergibt sich beispielsweise \[ [1;2,2,2] = 1+ \frac{1}{2+ \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} = \frac{17}{12} = 1,41\overline{6} \] \end{example} Die Kettenbruchentwicklung von $\frac{\log 2}{ \log \frac{3}{2}}$ ist $[1; 1,2,2,3,1,5,2,23, \ldots]$. Näherungen sind: \begin{itemize} \item $[1;1] = 2$ Für die Quinte ergibt sich $2^{\frac{1}{2}} \approx 1,4142\ldots$ \item $[1;1,2] = \frac{5}{3}$ (ein Halbtonschritt Abweichung, Pentatonik) Quinte: $2^{\frac{5}{3}} \approx 1,5157\ldots$ Die große Terz wird durch eine Quarte approximiert, $2^{\frac{2}{5}} = 1,319\ldots$ \item $[1;1,2,2] = \frac{12}{7}$ (EDO12), Quinte: $2^{\frac{7}{12}} \approx 1,49840\ldots$ Gr. Terz: $2^{\frac{4}{12}} \approx 1,2599\ldots$ Kl. Septime: $2^{\frac{10}{12}} \approx 1,781\ldots$ \item $[1;1,2,2,3] = \frac{41}{24}$ Quinte: $2^{\frac{24}{41}} \approx 1,50042\ldots$ Gr. Terz: $2^{\frac{13}{41}} \approx 1,2458\ldots$ \item $[1;1,2,2,3,1] = \frac{53}{31}$ Quinte: $2^{\frac{31}{53}} \approx 1,49994\ldots$ Gr. Terz: $2^{\frac{17}{53}} \approx 1,24898\ldots$ Kl. Septime: $2^{\frac{43}{53}} \approx 1,7548\ldots$ \item $[1;1,2,2,3,1,5] = \frac{306}{179}$ Quinte: $2^{\frac{197}{306}} \approx 1,5000050\ldots$ \item $[1;1,2,2,3,1,5,2] = \frac{665}{389}$ \end{itemize} Das optimiert zunächst nur Oktaven und Quinten. Da Quarten der Rest einer Quinte zur Oktave sind, werden diese ebenfalls gut approximiert. Videos zu EDO53: \url{https://www.youtube.com/watch?v=ILcgB_kOWzM}, \url{https://www.youtube.com/watch?v=T5OvAjzWF2Y}, \url{https://www.youtube.com/watch?v=xVZy9GUeMqY} Eine große Terz lässt sich durch Quinten erreichen, indem man 4 quinten nach oben und 2 Oktaven nach unten geht. Als Frequenzverhältnis ergibt sich dann $\left( \frac{3}{2} \right)^4 \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{81}{64}$. Die Abweichung $\frac{81}{80}$ zum Frequenzverhältnis $\frac{5}{4}$ wird als \vocab{syntonisches Komma} bezeichnet ($21,5ct.$). In EDO53 entspricht ein Tonschritt ($22,6ct.$ ) in etwa dem syntonischen Komma. \begin{remark}[Bohlen-Pierce-Skala] $3^{\frac{k}{13}}, k \in \Z$. Ein einzelner Schritt liegt zwischen einem Halbton und einem Ganzton. Faktor $3$ und Faktor $5$ werden gut approximiert, aber es gibt keine sinnvolle Oktaven. ``Ich will das jetzt nicht werten, aber ich würde es als experimentell bezeichnen.'' \end{remark} \begin{remark} In der Musik aller Kulturen findet sich das Konzept einer Oktave. \end{remark}