\section{Intervalle}

\begin{definition}[Schall]
    \vocab{Schall} ist eine Funktion $f: \text{Zeit} \to \text{Druck}$ bzw. $f: \text{Zeit} \to  \text{Luftbewegung}$
\end{definition}

\begin{definition}[Ton]
    Ein \vocab{Ton} entspricht einer Schwingungsfrequenz.
\end{definition}

\begin{observe}
    Die Funktion $\sin(2\pi \cdot f \cdot t)$ ist periodisch mit $T_0$ genau dann, wenn $f = k \cdot \frac{1}{T_0}$ für ein $k \in \Z$.
\end{observe}

\begin{definition}[Lineares Modell der MTT]
    Jede Funktion mit Periode $T_0$ kann als Summe von Funktionen der Form $a \cdot \sin(2\pi \cdot f \cdot t), a\cdot \cos(2\pi\cdot f\cdot t)$, $f = k \cdot \frac{1}{T_0}, a \in \R, k \in \Z$ dargestellt werden.
    
    Für $k=1$ ergibt sich die \vocab{Grundfrequenz} $\frac{2\pi}{T}$, für $k \ge 2$ reden wir von \vocab[Oberton]{Obertönen}.
\end{definition}


\todo{Obertöne Saiteninstrument (Alle Obertöne), Flöte, Querflöte (Obertöne nur für $k \in 2\N + 1$)}



\begin{table}[htpb]
    \centering
    \caption{Obertöne}
    \label{tab:obertoene}
    \begin{tabular}{clcccc}
        $k$ & Ton & Frequenz-& Halb- & EDO12 & Reine Intervalle\\ 
            & & verhältnis & töne& &(Cent) \\
            \hline
        $1$ & C \\
            & $\shortdownarrow$ Oktave & $2$ & $10$ & $2,000$ & $1200$\\
        $2$ & C \\
            & $\shortdownarrow$ Quinte & $\frac{3}{2}$ & $7$ & $1,4989$ & $702$\\
        $3$ & G \\
            &$\shortdownarrow$ Quarte & $\frac{4}{3}$ & $5$ & $1,3348$ & $498$\\
        $4$ & C\\ 
            &$\shortdownarrow$   gr. Terz & $\frac{5}{4}$ & $4$ & $1,2599$ & $386$\\
        $5$ & E \\
            &$\shortdownarrow$  kl. Terz & $\frac{6}{5}$ & $3$ & $1,1892$ & $316$\\
        $6$ & G\\
            &$\shortdownarrow$  & $\frac{7}{6}$ & $3$? & & $267$\\
        $7$ & B ? \\
            &$\shortdownarrow$  & $\frac{8}{7}$ & $2$? & & $231$\\
        $8$ & C\\
            &$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{9}{8}$ & $2$ & $1,1225$ & $204$\\
        $9$ & D \\
            &$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{10}{9}$ & 2 & $1,1225$& $182$\\
        $10$ & E \\

    \end{tabular}
\end{table}

\begin{observe}
    $\frac{9}{8} = \frac{10}{9}$ ???
\end{observe}

Es ergeben sich außerdem
\begin{table}[htpb]
    \centering
    \caption{Intervalle}
    \label{tab:intervale}
    \begin{tabular}{lll}
        Intervall & Verhältnis & Reines Intervall (Cent)\\
        gr. Sexte & $\frac{5}{3}$ &$884$\\
        kl. Sexte & $\frac{8}{5}$ &$814$\\
        kl. Septime & $\frac{9}{5} \approx \frac{7}{4}$ & $1018 \approx 969$\\
        Tritonus & $\sqrt{2}$
    \end{tabular}
\end{table}


\begin{remark}
   Es ergibt sich als Frequenzverhältnis (in Bezug auf C) 
   für gis (über E) $25:16$ 
   und für as $8:5$. Diese Töne sind hier also tatsächlich verschieden.
\end{remark}
\begin{remark}
   Auf der Violine spielt man häufig trotzdem das gis höher als das as. 
\end{remark}

\todo{Skizze: Versuch der Konstruktion eines Tonvorrates mit sauberen Intervallen}

Buchempfehlung: R. Duffin - ``How equal temperament ruined harmony - and why you should care''.



\todo{Bild Flageoletttöne}


Da das leider nicht genau aufgeht definieren wir als atomares Intervall:

\begin{definition}[Halbton]
\vocab{Halbton} $\coloneqq 2^{\frac{1}{12}}$.
Dieses Stimmungssystem nennt sich \vocab{EDO12} oder auch \vocab{12-TET}.
\end{definition}

Dementsprechend ist ein Intervall mit $n$ Halbtonschritten definiert als $2^{\frac{n}{12}}$.

Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner:
\begin{definition}[Cent]
    \vocab{Cent} $\coloneqq 2^{\frac{1}{1200}}$
\end{definition}

\begin{remark}
    Ein Unterschied von $10ct.$ ist hörbar, im direkten Vergelcih konnten wir im Kurs auch Unterschiede von $3ct.$ hören. \todo{Recherchieren} 

    \url{https://sevish.com/scaleworkshop/}
\end{remark}


% Tag 3


\begin{definition}[Dur]
\vocab{Dur} bezeichnet sowohl eine Tonart, als auch den Akkord, der sich aus den Tönen der 1., 3. und 5. Stufe dieser Tonart ergibt.
%\begin{abc}[name=c-dur]
%        X: 1 % start of header
%        K: C % scale: C major
%        "Text"c2 G4 | (3FED c4 G2 |
%\end{abc}

\todo{C-Dur-Tonleiter}
Ein Dur-Akkord besteht aus einer großen und einer kleinen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{5}{4}, \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{4}$.
\end{definition}
\begin{definition}[Moll]
    
\todo{C-Moll-Tonleiter}

Ein Moll-Akkord besteht aus einer kleinen und einer großen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{6}{5}, \frac{3}{2}$.
\end{definition}

\begin{definition}[Septakkord]
    Ein \vocab{Septakkord} fügt zusätzlich noch eine kleine Terz hinzu.
    Als Septime ergibt sich ein Frequenzverhältnis von $\frac{9}{5}$, $\frac{7}{4}$ oder $\frac{16}{9}$, je nachdem von wo aus der siebte Ton gesucht wird. Für Dur wirkt dabei $\frac{7}{4}$ (Septime zum Grundton) sinnvoller (?)\footnote{Unter der Annahme, dass der Dur-Dreiklang durch die Obertonreihe motiviert ist.}, für Moll $\frac{9}{5}$.
    
\end{definition}

\begin{problem}
Wir suchen ein \vocab{equal temperament} / eine \vocab{gleichstufige Stimmung}, die die wichtigsten Intervalle möglichst gut approximiert.
\end{problem}

Die ``Wichtigkeit'' eines Intervalls definieren wir dabei über die Größe des Nenners, d.h. die Intervalle sind in absteigender Wichtigkeit: Oktave, Quinte, Quarte, gr. Terz, \dots

Falls sowohl Oktaven als auch Quinten übereinstimmen sollen, bräuchten wir $a,b \in \N_{>0}$, so dass $2^a = \left( \frac{3}{2} \right)^b$. Solche existieren offenbar nicht.

Reelle Lösungen existieren, mit $\frac{b}{a} = \frac{\log 2}{\log \frac{3}{2}}$. Mit Hilfe von \vocab[Kettenbruch]{Kettenbrüchen} finden wir möglichst gute Näherungen.


\begin{notation}[Kettenbruchzerlegung]
    Wir schreiben $[a;b,c,d,\ldots]$, $a \in \Z, b,c,d, \ldots \in  \N_{+}$ für
    \[
    a + \frac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d + \ldots}}}
    \] 
    
\end{notation}
Eine Näherung ist besser, je größer die erste weggelassene Zahl ist. Näherungen sich abwechselnd obere und untere Schranken.
\begin{example}
    \[
    \sqrt{2}  = [1; \overline{2}] = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \ldots}}}}
    \]
    da $\sqrt{2} -1 = \frac{1}{\sqrt{2} +1} = \frac{1}{2 + (\sqrt{2} -1)}$.

    Als Näherung ergibt sich beispielsweise
    \[
    [1;2,2,2] = 1+ \frac{1}{2+ \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} = \frac{17}{12} = 1,41\overline{6} 
    \] 
\end{example}

Die Kettenbruchentwicklung von $\frac{\log 2}{ \log \frac{3}{2}}$ ist $[1; 1,2,2,3,1,5,2,23, \ldots]$.
Näherungen sind:
\begin{itemize}


    \item $[1;1] = 2$

        Für die Quinte ergibt sich $2^{\frac{1}{2}} \approx 1,4142\ldots$
    \item $[1;1,2] = \frac{5}{3}$ (ein Halbtonschritt Abweichung, Pentatonik) 


        Quinte: $2^{\frac{5}{3}} \approx 1,5157\ldots$

        Die große Terz wird durch eine Quarte approximiert, $2^{\frac{2}{5}} = 1,319\ldots$

    \item $[1;1,2,2] = \frac{12}{7}$ (EDO12), 
        
        Quinte: $2^{\frac{7}{12}} \approx 1,49840\ldots$

        Gr. Terz: $2^{\frac{4}{12}} \approx 1,2599\ldots$

        Kl. Septime: $2^{\frac{10}{12}} \approx 1,781\ldots$


    \item $[1;1,2,2,3] = \frac{41}{24}$

        Quinte: $2^{\frac{24}{41}}  \approx 1,50042\ldots$

        Gr. Terz: $2^{\frac{13}{41}} \approx 1,2458\ldots$


    \item $[1;1,2,2,3,1] = \frac{53}{31}$ 
        Quinte: $2^{\frac{31}{53}} \approx 1,49994\ldots$

        Gr. Terz: $2^{\frac{17}{53}} \approx 1,24898\ldots$

        Kl. Septime: $2^{\frac{43}{53}} \approx 1,7548\ldots$


    \item $[1;1,2,2,3,1,5] = \frac{306}{179}$

        Quinte: $2^{\frac{197}{306}} \approx 1,5000050\ldots$

    \item $[1;1,2,2,3,1,5,2] = \frac{665}{389}$

\end{itemize}

Das optimiert zunächst nur Oktaven und Quinten. Da Quarten der Rest einer Quinte zur Oktave sind, werden diese ebenfalls gut approximiert.

Videos zu EDO53: \url{https://www.youtube.com/watch?v=ILcgB_kOWzM}, \url{https://www.youtube.com/watch?v=T5OvAjzWF2Y}, \url{https://www.youtube.com/watch?v=xVZy9GUeMqY}

Eine große Terz lässt sich durch Quinten erreichen, indem man 4 quinten nach oben und 2 Oktaven nach unten geht. Als Frequenzverhältnis ergibt sich dann $\left( \frac{3}{2} \right)^4 \cdot  \frac{1}{2^2} = \frac{81}{64}$. Die Abweichung $\frac{81}{80}$ zum Frequenzverhältnis $\frac{5}{4}$ wird als \vocab{syntonisches Komma} bezeichnet ($21,5ct.$).
In EDO53 entspricht ein Tonschritt ($22,6ct.$ ) in etwa dem syntonischen Komma.

\begin{remark}[Bohlen-Pierce-Skala]
    $3^{\frac{k}{13}}, k \in \Z$. Ein einzelner Schritt liegt zwischen einem Halbton und einem Ganzton. Faktor $3$ und Faktor $5$ werden gut approximiert, aber es gibt keine sinnvolle Oktaven. 

    ``Ich will das jetzt nicht werten, aber ich würde es als experimentell bezeichnen.''
\end{remark}
\begin{remark}
    In der Musik aller Kulturen findet sich das Konzept einer Oktave.
\end{remark}
