\section{Intervalle} \begin{definition}[Schall] \vocab{Schall} ist eine Funktion $f: \text{Zeit} \to \text{Druck}$ bzw. $f: \text{Zeit} \to \text{Luftbewegung}$ \end{definition} \begin{definition}[Ton] Ein \vocab{Ton} entspricht einer Schwingungsfrequenz. \end{definition} \begin{observe} Die Funktion $\sin(2\pi \cdot f \cdot t)$ ist periodisch mit $T_0$ genau dann, wenn $f = k \cdot \frac{1}{T_0}$ für ein $k \in \Z$. \end{observe} \begin{definition}[Lineares Modell der MTT] Jede Funktion mit Periode $T_0$ kann als Summe von Funktionen der Form $a \cdot \sin(2\pi \cdot f \cdot t), a\cdot \cos(2\pi\cdot f\cdot t)$, $f = k \cdot \frac{1}{T_0}, a \in \R, k \in \Z$ dargestellt werden. Für $k=1$ ergibt sich die \vocab{Grundfrequenz} $\frac{2\pi}{T}$, für $k \ge 2$ reden wir von \vocab[Oberton]{Obertönen}. \end{definition} \todo{Obertöne Saiteninstrument (Alle Obertöne), Flöte, Querflöte (Obertöne nur für $k \in 2\N + 1$)} \begin{table}[htpb] \centering \caption{Obertöne} \label{tab:obertoene} \begin{tabular}{clcccc} $k$ & Ton & Frequenz-& Halb- & EDO12 & Reine Intervalle\\ & & verhältnis & töne& &(Cent) \\ \hline $1$ & C \\ & $\shortdownarrow$ Oktave & $2$ & $10$ & $2,000$ & $1200$\\ $2$ & C \\ & $\shortdownarrow$ Quinte & $\frac{3}{2}$ & $7$ & $1,4989$ & $702$\\ $3$ & G \\ &$\shortdownarrow$ Quarte & $\frac{4}{3}$ & $5$ & $1,3348$ & $498$\\ $4$ & C\\ &$\shortdownarrow$ gr. Terz & $\frac{5}{4}$ & $4$ & $1,2599$ & $386$\\ $5$ & E \\ &$\shortdownarrow$ kl. Terz & $\frac{6}{5}$ & $3$ & $1,1892$ & $316$\\ $6$ & G\\ &$\shortdownarrow$ & $\frac{7}{6}$ & $3$? & & $267$\\ $7$ & B ? \\ &$\shortdownarrow$ & $\frac{8}{7}$ & $2$? & & $231$\\ $8$ & C\\ &$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{9}{8}$ & $2$ & $1,1225$ & $204$\\ $9$ & D \\ &$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{10}{9}$ & 2 & $1,1225$& $182$\\ $10$ & E \\ \end{tabular} \end{table} \begin{observe} $\frac{9}{8} = \frac{10}{9}$ ??? \end{observe} Es ergeben sich außerdem: \begin{table}[htpb] \centering \caption{Intervalle} \label{tab:intervale} \begin{tabular}{lll} Intervall & Verhältnis & Reines Intervall (Cent)\\ gr. Sexte & $\frac{5}{3}$ &$884$\\ kl. Sexte & $\frac{8}{5}$ &$814$\\ kl. Septime & $\frac{9}{5} \approx \frac{7}{4}$ & $1018 \approx 969$\\ Tritonus & $\sqrt{2}$ \end{tabular} \end{table} \begin{remark} Es ergibt sich als Frequenzverhältnis (in Bezug auf C) für gis (über E) $25:16$ und für as $8:5$. Diese Töne sind hier also tatsächlich verschieden. \end{remark} \begin{remark} Auf der Violine spielt man häufig trotzdem das gis höher als das as. \end{remark} \todo{Skizze: Versuch der Konstruktion eines Tonvorrates mit sauberen Intervallen} Buchempfehlung: R. Duffin - ``How equal temperament ruined harmony - and why you should care''. \todo{Bild Flageoletttöne} Da das leider nicht genau aufgeht definieren wir als atomares Intervall: \begin{definition}[Halbton] \vocab{Halbton} $\coloneqq 2^{\frac{1}{12}}$. Dieses Stimmungssystem nennt sich \vocab{EDO12} oder auch \vocab{12-TET}. \end{definition} Dementsprechend ist ein Intervall mit $n$ Halbtonschritten definiert als $2^{\frac{n}{12}}$. Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner: \begin{definition}[Cent] \vocab{Cent} $\coloneqq 2^{\frac{1}{1200}}$ \end{definition} \begin{remark} Ein Unterschied von $10ct.$ ist hörbar, im direkten Vergleich konnten wir im Kurs auch Unterschiede von $3ct.$ hören. \url{https://sevish.com/scaleworkshop/} \end{remark} % Tag 3 \begin{definition}[Dur] \vocab{Dur} bezeichnet sowohl eine Tonart, als auch den Akkord, der sich aus den Tönen der 1., 3.~und 5. Stufe dieser Tonart ergibt. TODO: C-Dur-Tonleiter Ein Dur-Akkord besteht aus einer großen und einer kleinen Terz, d.h.~die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{5}{4}, \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{4}$. \end{definition} \begin{definition}[Moll] TODO: C-Moll-Tonleiter Ein Moll-Akkord besteht aus einer kleinen und einer großen Terz, d.h.~die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{6}{5}, \frac{3}{2}$. \end{definition} \begin{definition}[Septakkord] Ein \vocab{Septakkord} fügt zusätzlich noch eine kleine Terz hinzu. Als Septime ergibt sich ein Frequenzverhältnis von $\frac{9}{5}$, $\frac{7}{4}$ oder $\frac{16}{9}$, je nachdem von wo aus der siebte Ton gesucht wird. Für Dur wirkt dabei $\frac{7}{4}$ (Septime zum Grundton) sinnvoller (?)\footnote{Unter der Annahme, dass der Dur-Dreiklang durch die Obertonreihe motiviert ist.}, für Moll $\frac{9}{5}$. \end{definition} \begin{problem} Wir suchen ein \vocab{equal temperament} / eine \vocab{gleichstufige Stimmung}, die die wichtigsten Intervalle möglichst gut approximiert. \end{problem} Die ``Wichtigkeit'' eines Intervalls definieren wir dabei über die Größe des Nenners, d.h.~die Intervalle sind in absteigender Wichtigkeit: Oktave, Quinte, Quarte, gr. Terz, \dots Falls sowohl Oktaven als auch Quinten übereinstimmen sollen, bräuchten wir $a,b \in \N_{>0}$, so dass $2^a = \left( \frac{3}{2} \right)^b$. Solche existieren offenbar nicht. Reelle Lösungen existieren, mit $\frac{b}{a} = \frac{\log 2}{\log \frac{3}{2}}$. Mit Hilfe von \vocab[Kettenbruch]{Kettenbrüchen} finden wir möglichst gute Näherungen. \begin{notation}[Kettenbruchzerlegung] Wir schreiben $[a;b,c,d,\ldots]$, $a \in \Z, b,c,d, \ldots \in \N_{+}$ für \[ a + \frac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d + \ldots}}} \] \end{notation} Eine Näherung ist besser, je größer die erste weggelassene Zahl ist. Näherungen sich abwechselnd obere und untere Schranken. \begin{example} \[ \sqrt{2} = [1; \overline{2}] = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \ldots}}}} \] da $\sqrt{2} -1 = \frac{1}{\sqrt{2} +1} = \frac{1}{2 + (\sqrt{2} -1)}$. Als Näherung ergibt sich beispielsweise \[ [1;2,2,2] = 1+ \frac{1}{2+ \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} = \frac{17}{12} = 1,41\overline{6} \] \end{example} Die Kettenbruchentwicklung von $\frac{\log 2}{ \log \frac{3}{2}}$ ist $[1; 1,2,2,3,1,5,2,23, \ldots]$. Näherungen sind: \begin{itemize} \item $[1;1] = 2$ Für die Quinte ergibt sich $2^{\frac{1}{2}} \approx 1,4142\ldots$ \item $[1;1,2] = \frac{5}{3}$ (ein Halbtonschritt Abweichung, Pentatonik) Quinte: $2^{\frac{5}{3}} \approx 1,5157\ldots$ Die große Terz wird durch eine Quarte approximiert, $2^{\frac{2}{5}} = 1,319\ldots$ \item $[1;1,2,2] = \frac{12}{7}$ (EDO12), Quinte: $2^{\frac{7}{12}} \approx 1,49840\ldots$ Gr. Terz: $2^{\frac{4}{12}} \approx 1,2599\ldots$ Kl. Septime: $2^{\frac{10}{12}} \approx 1,781\ldots$ \item $[1;1,2,2,3] = \frac{41}{24}$ Quinte: $2^{\frac{24}{41}} \approx 1,50042\ldots$ Gr. Terz: $2^{\frac{13}{41}} \approx 1,2458\ldots$ \item $[1;1,2,2,3,1] = \frac{53}{31}$ Quinte: $2^{\frac{31}{53}} \approx 1,49994\ldots$ Gr. Terz: $2^{\frac{17}{53}} \approx 1,24898\ldots$ Kl. Septime: $2^{\frac{43}{53}} \approx 1,7548\ldots$ \item $[1;1,2,2,3,1,5] = \frac{306}{179}$ Quinte: $2^{\frac{197}{306}} \approx 1,5000050\ldots$ \item $[1;1,2,2,3,1,5,2] = \frac{665}{389}$ \end{itemize} Das optimiert zunächst nur Oktaven und Quinten. Da Quarten der Rest einer Quinte zur Oktave sind, werden diese ebenfalls gut approximiert. Videos zu EDO53: \url{https://www.youtube.com/watch?v=ILcgB_kOWzM}, \url{https://www.youtube.com/watch?v=T5OvAjzWF2Y}, \url{https://www.youtube.com/watch?v=xVZy9GUeMqY} Eine große Terz lässt sich durch Quinten erreichen, indem man 4 Quinten nach oben und 2 Oktaven nach unten geht. Als Frequenzverhältnis ergibt sich dann $\left( \frac{3}{2} \right)^4 \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{81}{64}$. Die Abweichung $\frac{81}{80}$ zum Frequenzverhältnis $\frac{5}{4}$ wird als \vocab{syntonisches Komma} bezeichnet ($21,5ct.$). In EDO53 entspricht ein Tonschritt ($22,6ct.$ ) in etwa dem syntonischen Komma. \begin{remark}[Bohlen-Pierce-Skala] $3^{\frac{k}{13}}, k \in \Z$. Ein einzelner Schritt liegt zwischen einem Halbton und einem Ganzton. Faktor $3$ und Faktor $5$ werden gut approximiert, aber es gibt keine sinnvolle Oktaven. ``Ich will das jetzt nicht werten, aber ich würde es als experimentell bezeichnen.'' \end{remark} \begin{remark} In der Musik aller Kulturen findet sich das Konzept einer Oktave. \end{remark} % Tag 4 \begin{question} Gibt es einen Grund dafür, dass rationale Intervalle gut klingen? \end{question} \paragraph{Erinnerung: Lineares Modell} \begin{figure}[H] \centering \begin{tikzcd} \text{Klang} \arrow{r}{}& \arrow{l}{} \text{Überlagerung von Frequenzen} \end{tikzcd} \end{figure} \todo{Bild Dreiecksschwingung als Überlagerung von Frequenzen} \[ \sin(\frac{2\pi}{T}\cdot t) - \frac{1}{3^2} \sin(3 \cdot \frac{2\pi}{T} t) + \frac{1}{5^2} \sin(5 \cdot \frac{2\pi}{T}t) - \ldots \] \todo{Bild Fouriertransformation} \begin{question} Ist die Phasenverschiebung der einzelnen Komponenten für den Klang relevant? \end{question} \todo{ausprobieren} \todo{Diskrete Fouriertransformation aus AlMa abschreiben} \todo{FFT} \footnote{In Audacity kann man ein Frequenzspektrum unter Analyze $\to $ Plot Spectrum berechnen} \begin{table} \centering \caption{Fouriertransformation} \begin{tabular}{ccc} & diskret & kontinuierlich \\ endliche Länge & DFT / FFT & Fourieranalyse (diskrete Frequenzen) \\ unendlich & braucht man nicht & Fouriertransformation\\ \end{tabular} \end{table} \begin{observe} Wenn zwei Töne aus einem Intervall mit rationalem Verhältnis zusammen klingen, fallen viele der Frequenzen aus dem Obertonspektrum zusammen. \end{observe} \todo{Bild dazu} \paragraph{Erklärungsversuch} Bei Tönen, die nicht in einem rationalen Verhältnis stehen, werden Schwebungen im Obertonspektrum wahrgenommen und sorgen dafür, dass diese Intervalle nicht gut klingen. Die Erklärung ist falsch: Auch bei reinen Sinustönen klingen rationale Intervalle besser als andere, jedoch haben diese kein Obertonspektrum. Ferner sind die Schwebungen vermutlich nicht wahrnehmbar. \subsection{Nichtlineare Effekte} Erinnerung: \begin{tikzcd} \text{Noten} \arrow{r}{1}& \text{Instrumente}\arrow{d}{2}\\ & \text{Schall}\arrow{d}{3} \\ \text{Empfindung} \arrow{uu}{\text{komponieren}} & \text{Ohr}\arrow{l}{4} \end{tikzcd} (1) und (2) können wir mit digitaler Technik kontrollieren. Welche nichtlinearen Effekte können auftreten? \begin{itemize} \item Dämpfung / Anregung (2) \item Ohr (3) \item neuronale Prozesse (Aktivierungsfunktion in ML) (4) \item Instabilität (1) \end{itemize} Für die Erklärung der Wahrnehmung von rationalen Intervallen scheinen Dämpfung und Instabilität nicht wichtig zu sein, denn die Intervalle klingen auch für reine Sinustöne gut. \subsubsection{Ohr} Es gibt keinen Grund anzunehmen, dass das Ohr Schall linear wahrnimmt. Beispielsweise die Trichterform des Gehörganges sorgt für Verzerrung Annahme: Die Nichtlinearität wirkt nur auf die Auslenkung zum aktuellen Zeitpunkt. Sei Schall gegeben durch $a(t)$ und eine nichtlineare Verzerrung $g$. Sei $a(t) = \sin(\alpha t) + \sin(\beta t)$. Wir können $g$ mit einer Taylorreihe approximieren\footnote{\url{https://www.youtube.com/watch?v=3d6DsjIBzJ4}}. Sei $g(x) = c_0 + c_1x+ c_2x^2 + \ldots$. Es ergibt sich für den quadratischen Term: \begin{IEEEeqnarray*}{rCl} (\sin \alpha t + \sin \beta t)^2 &=& (\sin \alpha t)^2 + 2 \sin \alpha t \sin \beta t + (\sin \beta t)^2\\ &\overset{?}{=}& \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 \alpha t + \cos(\alpha t - \beta t) \cos (\alpha t + \beta t) + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 \beta t\\ \end{IEEEeqnarray*} Die hierdurch entstehenden Töne mit Frequenzen $\alpha - \beta, \ldots$ werden als \vocab[Kombinationston]{Kombinationstöne} bezeichnet. \begin{observe} Für verschiedene $\alpha, \beta$ in der selben Größenordnung kann $\alpha - \beta$ von deutlich anderer Größenordnung sein. \end{observe} Bei einem rationalen Intervall wird hierdurch auch der Grundton hörbar (\vocab{Rekonstruktion des Grundtones}). Man kann das ausprobieren ({\color{red}ACHTUNG UNANGENEHM!}): \url{http://szhorvat.net/pelican/combination-tones.html} Siehe auch \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Beat_(acoustics)#Binaural_beats}. Für das selbe Signal mit verschiedener Lautstärke, $b(t) \coloneqq \lambda a(t), \lambda < 1$, ändert sich dieser Effekt, bei größerer Lautstärke wird der Kombinationston relativ lauter. \begin{example}[Quinte] \label{quinte} Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $2\alpha$ und $3\alpha$. Als Kombinationstöne ergeben sich: \begin{itemize} \item linear: $2 \alpha, 3 \alpha$ \item quadratisch: $4\alpha, \alpha, 5 \alpha, 6 \alpha$ \item kubisch: $6 \alpha, \alpha, 7 \alpha, 9 \alpha, 4 \alpha, 8 \alpha$ \item ... \end{itemize} Insgesamt ergibt sich der Grundton $\alpha$ mit einem Obertonspektrum. \end{example} \begin{example}[kl. Septime] Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $4 \alpha, 7 \alpha$ \begin{itemize} \item linear: $4\alpha, 7 \alpha$ \item quadratisch: $3 \alpha, 8 \alpha, 11 \alpha, 14 \alpha$ \item kubisch: $1 \alpha, 10 \alpha, 12 \alpha, 15 \alpha, 18 \alpha, 21 \alpha$ \item ... \end{itemize} \end{example} \begin{example}[Quarte] Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $3 \alpha, 4 \alpha$ \begin{itemize} \item linear: $3\alpha, 4 \alpha$ \item quadratisch: $\alpha,6 \alpha, 7 \alpha, 8 \alpha$ \end{itemize} Es ergibt sich eine oktavierte Version des höheren Tones mit Obertonspektrum. \end{example} \begin{example}[unsaubere Quinte] Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $2 \alpha, 2.99 \alpha$ \begin{itemize} \item linear: $2 \alpha, 2.99 \alpha$ \item quadratisch: $4\alpha, {\color{red}0.99 \alpha}, 4.99 \alpha, 5.98 \alpha$ \item kubisch: ${\color{red}1.01\alpha}, 3.98 \alpha, 6 \alpha, 6. 99 \alpha, 7.98 \alpha, 8.97\alpha$ \end{itemize} Es ergeben sich Schwebungen wischen den Kombinationstönen. Es ist unklar, ob die Schwebungen und/oder der sehr tiefe Kombinationston $0.02 \alpha$ dafür sorgt, dass das Intervall als unangenehm wahrgenommen wird. \end{example}