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TeX
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\section{Intervalle}
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\begin{definition}[Schall]
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\vocab{Schall} ist eine Funktion $f: \text{Zeit} \to \text{Druck}$ bzw. $f: \text{Zeit} \to \text{Luftbewegung}$
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\end{definition}
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\begin{definition}[Ton]
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Ein \vocab{Ton} entspricht einer Schwingungsfrequenz.
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\end{definition}
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\begin{observe}
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Die Funktion $\sin(2\pi \cdot f \cdot t)$ ist periodisch mit $T_0$ genau dann, wenn $f = k \cdot \frac{1}{T_0}$ für ein $k \in \Z$.
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\end{observe}
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\begin{definition}[Lineares Modell der MTT]
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Jede Funktion mit Periode $T_0$ kann als Summe von Funktionen der Form $a \cdot \sin(2\pi \cdot f \cdot t), a\cdot \cos(2\pi\cdot f\cdot t)$, $f = k \cdot \frac{1}{T_0}, a \in \R, k \in \Z$ dargestellt werden.
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Für $k=1$ ergibt sich die \vocab{Grundfrequenz} $\frac{2\pi}{T}$, für $k \ge 2$ reden wir von \vocab[Oberton]{Obertönen}.
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\end{definition}
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\todo{Obertöne Saiteninstrument (Alle Obertöne), Flöte, Querflöte (Obertöne nur für $k \in 2\N + 1$)}
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\begin{table} %[htpb]
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\centering
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\caption{Obertöne}
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\label{tab:obertoene}
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\begin{tabular}{clcccc}
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$k$ & Ton & Frequenz-& Halb- & EDO12 & Reine Intervalle\\
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& & verhältnis & töne& &(Cent) \\
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\hline
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$1$ & C \\
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& $\shortdownarrow$ Oktave & $2$ & $10$ & $2,000$ & $1200$\\
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$2$ & C \\
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& $\shortdownarrow$ Quinte & $\frac{3}{2}$ & $7$ & $1,4989$ & $702$\\
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$3$ & G \\
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&$\shortdownarrow$ Quarte & $\frac{4}{3}$ & $5$ & $1,3348$ & $498$\\
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$4$ & C\\
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&$\shortdownarrow$ gr. Terz & $\frac{5}{4}$ & $4$ & $1,2599$ & $386$\\
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$5$ & E \\
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&$\shortdownarrow$ kl. Terz & $\frac{6}{5}$ & $3$ & $1,1892$ & $316$\\
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$6$ & G\\
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&$\shortdownarrow$ & $\frac{7}{6}$ & $3$? & & $267$\\
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$7$ & B ? \\
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&$\shortdownarrow$ & $\frac{8}{7}$ & $2$? & & $231$\\
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$8$ & C\\
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&$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{9}{8}$ & $2$ & $1,1225$ & $204$\\
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$9$ & D \\
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&$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{10}{9}$ & 2 & $1,1225$& $182$\\
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$10$ & E \\
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\end{tabular}
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\end{table}
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\begin{observe}
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$\frac{9}{8} = \frac{10}{9}$ ???
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\end{observe}
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Es ergeben sich außerdem
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\begin{table} %[htpb]
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\centering
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\caption{Intervalle}
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\label{tab:intervale}
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\begin{tabular}{lll}
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Intervall & Verhältnis & Reines Intervall (Cent)\\
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gr. Sexte & $\frac{5}{3}$ &$884$\\
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kl. Sexte & $\frac{8}{5}$ &$814$\\
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kl. Septime & $\frac{9}{5} \approx \frac{7}{4}$ & $1018 \approx 969$\\
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Tritonus & $\sqrt{2}$
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\end{tabular}
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\end{table}
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\begin{remark}
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Es ergibt sich als Frequenzverhältnis (in Bezug auf C)
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für gis (über E) $25:16$
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und für as $8:5$. Diese Töne sind hier also tatsächlich verschieden.
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Auf der Violine spielt man häufig trotzdem das gis höher als das as.
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\end{remark}
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\todo{Skizze: Versuch der Konstruktion eines Tonvorrates mit sauberen Intervallen}
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Buchempfehlung: R. Duffin - ``How equal temperament ruined harmony - and why you should care''.
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\todo{Bild Flageoletttöne}
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Da das leider nicht genau aufgeht definieren wir als atomares Intervall:
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\begin{definition}[Halbton]
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\vocab{Halbton} $\coloneqq 2^{\frac{1}{12}}$.
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Dieses Stimmungssystem nennt sich \vocab{EDO12} oder auch \vocab{12-TET}.
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\end{definition}
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Dementsprechend ist ein Intervall mit $n$ Halbtonschritten definiert als $2^{\frac{n}{12}}$.
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Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner:
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\begin{definition}[Cent]
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\vocab{Cent} $\coloneqq 2^{\frac{1}{1200}}$
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Ein Unterschied von $10ct.$ ist hörbar, im direkten Vergelcih konnten wir im Kurs auch Unterschiede von $3ct.$ hören.
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\url{https://sevish.com/scaleworkshop/}
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\end{remark}
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% Tag 3
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\begin{definition}[Dur]
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\vocab{Dur} bezeichnet sowohl eine Tonart, als auch den Akkord, der sich aus den Tönen der 1., 3. und 5. Stufe dieser Tonart ergibt.
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%\begin{abc}[name=c-dur]
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% X: 1 % start of header
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% K: C % scale: C major
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% "Text"c2 G4 | (3FED c4 G2 |
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%\end{abc}
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[todo]: C-Dur-Tonleiter
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Ein Dur-Akkord besteht aus einer großen und einer kleinen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{5}{4}, \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{4}$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Moll]
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[todo]: C-Moll-Tonleiter
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Ein Moll-Akkord besteht aus einer kleinen und einer großen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{6}{5}, \frac{3}{2}$.
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\end{definition}
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\begin{definition}[Septakkord]
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Ein \vocab{Septakkord} fügt zusätzlich noch eine kleine Terz hinzu.
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Als Septime ergibt sich ein Frequenzverhältnis von $\frac{9}{5}$, $\frac{7}{4}$ oder $\frac{16}{9}$, je nachdem von wo aus der siebte Ton gesucht wird. Für Dur wirkt dabei $\frac{7}{4}$ (Septime zum Grundton) sinnvoller (?)\footnote{Unter der Annahme, dass der Dur-Dreiklang durch die Obertonreihe motiviert ist.}, für Moll $\frac{9}{5}$.
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\end{definition}
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\begin{problem}
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Wir suchen ein \vocab{equal temperament} / eine \vocab{gleichstufige Stimmung}, die die wichtigsten Intervalle möglichst gut approximiert.
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\end{problem}
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Die ``Wichtigkeit'' eines Intervalls definieren wir dabei über die Größe des Nenners, d.h. die Intervalle sind in absteigender Wichtigkeit: Oktave, Quinte, Quarte, gr. Terz, \dots
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Falls sowohl Oktaven als auch Quinten übereinstimmen sollen, bräuchten wir $a,b \in \N_{>0}$, so dass $2^a = \left( \frac{3}{2} \right)^b$. Solche existieren offenbar nicht.
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Reelle Lösungen existieren, mit $\frac{b}{a} = \frac{\log 2}{\log \frac{3}{2}}$. Mit Hilfe von \vocab[Kettenbruch]{Kettenbrüchen} finden wir möglichst gute Näherungen.
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\begin{notation}[Kettenbruchzerlegung]
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Wir schreiben $[a;b,c,d,\ldots]$, $a \in \Z, b,c,d, \ldots \in \N_{+}$ für
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\[
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a + \frac{1}{b + \frac{1}{c + \frac{1}{d + \ldots}}}
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\]
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\end{notation}
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Eine Näherung ist besser, je größer die erste weggelassene Zahl ist. Näherungen sich abwechselnd obere und untere Schranken.
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\begin{example}
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\[
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\sqrt{2} = [1; \overline{2}] = 1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + \ldots}}}}
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\]
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da $\sqrt{2} -1 = \frac{1}{\sqrt{2} +1} = \frac{1}{2 + (\sqrt{2} -1)}$.
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Als Näherung ergibt sich beispielsweise
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\[
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[1;2,2,2] = 1+ \frac{1}{2+ \frac{1}{2 + \frac{1}{2}}} = \frac{17}{12} = 1,41\overline{6}
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\]
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\end{example}
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Die Kettenbruchentwicklung von $\frac{\log 2}{ \log \frac{3}{2}}$ ist $[1; 1,2,2,3,1,5,2,23, \ldots]$.
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Näherungen sind:
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\begin{itemize}
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\item $[1;1] = 2$
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Für die Quinte ergibt sich $2^{\frac{1}{2}} \approx 1,4142\ldots$
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\item $[1;1,2] = \frac{5}{3}$ (ein Halbtonschritt Abweichung, Pentatonik)
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Quinte: $2^{\frac{5}{3}} \approx 1,5157\ldots$
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Die große Terz wird durch eine Quarte approximiert, $2^{\frac{2}{5}} = 1,319\ldots$
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\item $[1;1,2,2] = \frac{12}{7}$ (EDO12),
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Quinte: $2^{\frac{7}{12}} \approx 1,49840\ldots$
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Gr. Terz: $2^{\frac{4}{12}} \approx 1,2599\ldots$
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Kl. Septime: $2^{\frac{10}{12}} \approx 1,781\ldots$
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\item $[1;1,2,2,3] = \frac{41}{24}$
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Quinte: $2^{\frac{24}{41}} \approx 1,50042\ldots$
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Gr. Terz: $2^{\frac{13}{41}} \approx 1,2458\ldots$
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\item $[1;1,2,2,3,1] = \frac{53}{31}$
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Quinte: $2^{\frac{31}{53}} \approx 1,49994\ldots$
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Gr. Terz: $2^{\frac{17}{53}} \approx 1,24898\ldots$
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Kl. Septime: $2^{\frac{43}{53}} \approx 1,7548\ldots$
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\item $[1;1,2,2,3,1,5] = \frac{306}{179}$
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Quinte: $2^{\frac{197}{306}} \approx 1,5000050\ldots$
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\item $[1;1,2,2,3,1,5,2] = \frac{665}{389}$
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\end{itemize}
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Das optimiert zunächst nur Oktaven und Quinten. Da Quarten der Rest einer Quinte zur Oktave sind, werden diese ebenfalls gut approximiert.
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Videos zu EDO53: \url{https://www.youtube.com/watch?v=ILcgB_kOWzM}, \url{https://www.youtube.com/watch?v=T5OvAjzWF2Y}, \url{https://www.youtube.com/watch?v=xVZy9GUeMqY}
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Eine große Terz lässt sich durch Quinten erreichen, indem man 4 quinten nach oben und 2 Oktaven nach unten geht. Als Frequenzverhältnis ergibt sich dann $\left( \frac{3}{2} \right)^4 \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{81}{64}$. Die Abweichung $\frac{81}{80}$ zum Frequenzverhältnis $\frac{5}{4}$ wird als \vocab{syntonisches Komma} bezeichnet ($21,5ct.$).
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In EDO53 entspricht ein Tonschritt ($22,6ct.$ ) in etwa dem syntonischen Komma.
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\begin{remark}[Bohlen-Pierce-Skala]
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$3^{\frac{k}{13}}, k \in \Z$. Ein einzelner Schritt liegt zwischen einem Halbton und einem Ganzton. Faktor $3$ und Faktor $5$ werden gut approximiert, aber es gibt keine sinnvolle Oktaven.
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``Ich will das jetzt nicht werten, aber ich würde es als experimentell bezeichnen.''
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\end{remark}
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\begin{remark}
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In der Musik aller Kulturen findet sich das Konzept einer Oktave.
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\end{remark}
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% Tag 4
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\begin{question}
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Gibt es einen Grund dafür, dass rationale Intervalle gut klingen?
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\end{question}
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\paragraph{Erinnerung: Lineares Modell}
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\begin{figure} %[H]
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\centering
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\begin{tikzcd}
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\text{Klang} \arrow{r}{}& \arrow{l}{} \text{Überlagerung von Frequenzen}
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\end{tikzcd}
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\end{figure}
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\todo{Bild Dreiecksschwingung als Überlagerung von Frequenzen}
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\[
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\sin(\frac{2\pi}{T}\cdot t) - \frac{1}{3^2} \sin(3 \cdot \frac{2\pi}{T} t) + \frac{1}{5^2} \sin(5 \cdot \frac{2\pi}{T}t) - \ldots
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\]
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\todo{Bild Fouriertransformation}
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\begin{question}
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Ist die Phasenverschiebung der einzelnen Komponenten für den Klang relevant?
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\end{question}
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\todo{ausprobieren}
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\todo{Diskrete Fouriertransformation aus AlMa abschreiben}
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\todo{FFT}
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\footnote{In Audacity kann man ein Frequenzspektrum unter Analyze $\to $ Plot Spectrum berechnen}
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\begin{table}
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\centering
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\caption{Fouriertransformation}
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\begin{tabular}{ccc}
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& diskret & kontinuierlich \\
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endliche Länge & DFT / FFT & Fourieranalyse (diskrete Frequenzen) \\
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unendlich & braucht man nicht & Fouriertransformation\\
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\end{tabular}
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\end{table}
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\begin{observe}
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Wenn zwei Töne aus einem Intervall mit rationalem Verhältnis zusamen klingen, fallen viele der Freqeunzen aus dem Obertonspektrum zusammen.
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\end{observe}
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\todo{Bild dazu}
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\paragraph{Erklärungsversuch} Bei Tönen, die nicht in einem rationalen Verhöltnis stehen, werden Schwebungen im Obertonspektrum wahrgenommen und sorgen dafür, dass diese Intervalle nicht gut klingen.
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Die Erklärung ist falsch: Auch bei reinen Sinustönen klingen rationale Intervalle besser als andere, jedoch haben diese kein Obertonspektrum. Ferner sind die Schwebungen vermutlich nicht wahrnehmbar.
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\subsection{Nichtlineare Effekte}
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Erinnerung:
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\begin{tikzcd}
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\text{Noten} \arrow{r}{1}& \text{Instrumente}\arrow{d}{2}\\
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& \text{Schall}\arrow{d}{3} \\
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\text{Empfindung} \arrow{uu}{\text{komponieren}} & \text{Ohr}\arrow{l}{4}
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\end{tikzcd}
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(1) und (2) können wir mit digitaler Technik kontrollieren.
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Welche nichtlinearen Effekte können auftreten?
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\begin{itemize}
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\item Dämpfung / Anregung (2)
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\item Ohr (3)
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\item neuronale Prozesse (Aktivierungsfunktion in ML) (4)
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\item Instabilität (1)
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\end{itemize}
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Für die Erklärung der Wahrnehmung von rationalen Intervallen scheinen Däpfung und Instabilität nicht wichtig zu sein, denn die Intervalle klingen auch für reine Sinustöne gut.
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\subsubsection{Ohr}
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Es gibt keinen Grund anzunehmen, dass das Ohr Schall linear wahrnimmt. Beispielsweise die Trichterform des Gehörganges sorgt für Verzerrung
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Annahme: Die Nichtlinearität wirkt nur auf die Auslenkung zum aktuellen Zeitpunkt.
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Sei Schall gegeben durch $a(t)$ und eine nichtlineare Verzerrung $g$.
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Sei $a(t) = \sin(\alpha t) + \sin(\beta t)$.
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Wir können $g$ mit einer Taylorreihe approximieren\footnote{\url{https://www.youtube.com/watch?v=3d6DsjIBzJ4}}.
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Sei $g(x) = c_0 + c_1x+ c_2x^2 + \ldots$.
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Es ergibt sich für den quadratischen Term:
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\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
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(\sin \alpha t + \sin \beta t)^2 &=& (\sin \alpha t)^2 + 2 \sin \alpha t \sin \beta t + (\sin \beta t)^2\\
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&\overset{?}{=}& \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 \alpha t + \cos(\alpha t - \beta t) \cos (\alpha t + \beta t)
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+ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 \beta t\\
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|
\end{IEEEeqnarray*}
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Die hierdurch entstehenden Töne mit Frequenzen $\alpha - \beta, \ldots$ werden als \vocab[Kombinationston]{Kombinationstöne} bezeichnet.
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\begin{observe}
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Für verschiedene $\alpha, \beta$ in der selben Größenordnung kann $\alpha - \beta$ von deutlich anderer Größenordnung sein.
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\end{observe}
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Bei einem rationalen Intervall wird hierdurch auch der Grundton hörbar (\vocab{Rekonstruktion des Grundtones}).
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Man kann das ausprobieren ({\color{red}ACHTUNG UNANGENEHM!}): \url{http://szhorvat.net/pelican/combination-tones.html}
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Siehe auch \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Beat_(acoustics)#Binaural_beats}.
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Für das selbe Signal mit verschiedener Lautstärke, $b(t) \coloneqq \lambda a(t), \lambda < 1$, ändert sich dieser Effekt, bei größerer Lautstärke wird der Kombinationston relativ lauter.
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\begin{example}[Quinte]
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Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $2\alpha$ und $3\alpha$.
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Als Kombinationstöne ergeben sich:
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\begin{itemize}
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\item linear: $2 \alpha, 3 \alpha$
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\item quadratisch: $4\alpha, \alpha, 5 \alpha, 6 \alpha$
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\item kubisch: $6 \alpha, \alpha, 7 \alpha, 9 \alpha, 4 \alpha, 8 \alpha$
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\item ...
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\end{itemize}
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Insgesamt ergibt sich der Grundton $\alpha$ mit einem Obertonspektrum.
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\end{example}
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\begin{example}[kl. Septime]
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Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $4 \alpha, 7 \alpha$
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\begin{itemize}
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\item linear: $4\alpha, 7 \alpha$
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\item quadratisch: $3 \alpha, 8 \alpha, 11 \alpha, 14 \alpha$
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\item kubisch: $1 \alpha, 10 \alpha, 12 \alpha, 15 \alpha, 18 \alpha, 21 \alpha$
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|
\item ...
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\end{itemize}
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|
\end{example}
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\begin{example}[Quarte]
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Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $3 \alpha, 4 \alpha$
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|
\begin{itemize}
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|
\item linear: $3\alpha, 4 \alpha$
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|
\item quadratisch: $\alpha,6 \alpha, 7 \alpha, 8 \alpha$
|
|
\end{itemize}
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Es ergibt sich eine oktavierte Version des höheren Tones mit Obertonspektrum.
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|
\end{example}
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\begin{example}[unsaubere Quinte]
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Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $2 \alpha, 2.99 \alpha$
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\begin{itemize}
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\item linear: $2 \alpha, 2.99 \alpha$
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\item quadratisch: $4\alpha, {\color{red}0.99 \alpha}, 4.99 \alpha, 5.98 \alpha$
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\item kubisch: ${\color{red}1.01\alpha}, 3.98 \alpha, 6 \alpha, 6. 99 \alpha, 7.98 \alpha, 8.97\alpha$
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\end{itemize}
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Es ergeben sich Schwebungen wischen den Kombinationstönen.
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Es ist unklar, ob die Schwebungen und/oder der sehr tiefe Kombinationston $0.02 \alpha$ dafür sorgt, dass das Intervall als unangenehm wahrgenommen wird.
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\end{example}
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