Tag 8

inputs/akkorde.tex

@@ -240,22 +240,3 @@ Bei Einteilung eines Ganztones ist großen und kleinen Halbton ergeben sich als
 
  Buchempfehlung: ``A Geometry of Music'' - Dmitri Tymoczko
 
- \begin{definition}
-     Wir definieren eine Metrik auf der Menge der Tonvorräte, wobei $\text{dist}(T, T')$ die minimale Anzahl an Halbtonschritten sei, die geändert werden müssen, um von $T$ zu $T'$ zu gelangen.
- \end{definition}
-
-
- \begin{definition}
-     Eine \vocab{Modulation} ist ein Wechsel c$\sharp$\footnote{Enhamonisch auch als $d\flat$ bekannt} Tonvorrates, der nicht auf komplett absurde Weise geschieht. (``lokal sinnvoll'')    
- \end{definition}
-
- Tonvorräte:
- \begin{itemize}
-     \item $n=2$ :
-         \begin{itemize}
-             \item 6,6 (Halbtonschritte EDO12)
-                 z.B. $C, F\sharp$
-             \item  $7,5$ 
-                 z.B. $C,G$
-         \end{itemize}
- \end{itemize}

inputs/modulation.tex

@@ -1,4 +1,6 @@
-\section{Modulation}
+ \begin{definition}[Tonvorrat]
+     Ein \vocab{Tonvorrat} ist eine Menge von $n$ Tönen pro Oktave, welche ungefähr gleichmäßig verteilt sind.
+ \end{definition}
 
  \begin{definition}
      Wir definieren eine Metrik auf der Menge der Tonvorräte, wobei $\text{dist}(T, T')$ die minimale Anzahl an Halbtonschritten sei, die geändert werden müssen, um von $T$ zu $T'$ zu gelangen.
@@ -6,7 +8,7 @@
 
 
  \begin{definition}
-     Eine \vocab{Modulation} ist ein Wechsel c$\sharp$\footnote{Enhamonisch auch als $d\flat$ bekannt} Tonvorrates, der nicht auf komplett absurde Weise geschieht. (``lokal sinnvoll'')    
+     Eine \vocab{Modulation} ist ein Wechsel c$\sharp$\footnote{Enharmonisch auch als $d\flat$ bekannt} Tonvorrates, der nicht auf komplett absurde Weise geschieht. (``lokal sinnvoll'', einzelne Töne werden minimal verändert)
  \end{definition}
 
  Tonvorräte:
@@ -17,5 +19,81 @@
                  z.B. $C, F\sharp$
              \item  $7,5$ 
                  z.B. $C,G$
+                 mögl. Modulation $C,G \to C,G\flat (6,6) \to D\flat,G\flat (5,7)$
+             \item $8,4$
+         \end{itemize}
+     \item $n=3$
+         \begin{itemize}
+            \item  $4,4,4$
+                z.B.  $C,E,G\sharp$
+            \item $4,3,5$ z.B.  $C,E,G$ (\vocab{Dur})
+            \item  $3,4,5$ z.B.  $C,E\flat, G$ (\vocab{Moll})
+
+        \end{itemize}
+        Mögl. Modulationen:  $C,E,G \to  C, E\flat, G (3,4,5)$, $C,E,G \to  B,E,G (3,4,5)$, $C,E,G \to C,E,G\sharp (4,4,4)$
+        Insbesondere kommt man von $C,E\flat, G$ über  $C,E,G$ nach  $B,E,G$ (Verschiebung um ein Terz)
+
+     \item $n=4$
+         \begin{itemize}
+             \item $3,3,3,3$ z.B.  $C, E\flat,G\flat,A$
+            \item $3,3,2,4$  $C,E\flat, G\flat, A\flat$ $(A\flat^7)$
+             \item  $2,3,3,4$ $C,D,F,A\flat$ ($f^6$)
+             \item $3,2,3,4$ $C,E\flat, F, A\flat$ ($f^7$)
+         \end{itemize}
+
+         Mögl. Modulationen:
+
+         $A\flat, C, E\flat, G\flat \to  A \flat, C, E\flat F (4,3,2,3)$
+
+         $A\flat, C, E\flat, G\flat \to  A \flat, C\flat, E\flat, G\flat (3,4,3,2)$
+
+
+         Insbesondere kommt man von $A\flat, C, E\flat, F$ nach  $A\flat, C\flat, E\flat, G\flat$ (Verschiebung um eine kleine Terz).
+
+
+         Modulationen mit zwei Änderungen:
+
+         $A, C, D, G\flat = F\sharp$ ($D^7$)
+
+         $A,B,E\flat=D\sharp, G\flat = F\sharp$ $(B^7)$
+
+         $A,C,E\flat,F$ ($F^7$)
+
+
+         Die Modulation von $D^7$ nach $A\flat^7$ wird als \vocab{tritone substitution} bezeichnet.
+     \item $n = 5$
+          \begin{itemize}
+             \item $3,2,2,3,2$
+                 (Pentatonik)
          \end{itemize}
  \end{itemize}
+
+\item $n=6$
+     \begin{itemize}
+        \item $2,2,2,2,2,2$ (Ganztonleiter)
+    \end{itemize}
+\item $n=7$
+     \begin{itemize}
+        \item $2,2,1,2,2,2,1$
+    \end{itemize}
+    Je nach Wahl des Grundtones ergibt sich Dur oder Moll.
+    Je früher die Halbtonschritte kommen, desto dunkler ist die Tonart.
+
+    Modulationen verschieben um eine Quinte $\leadsto$ \vocab{Quintenzirkel}
+    \end{itemize}
+ \begin{quote}
+    ``Im Prinzip ist Game of Thrones ein großes Jazz Stück'' - Man erwartet gewisse Dinge, die manchmal eintreten und manchmal nicht. 
+ \end{quote}
+
+
+\subsection{Stabilität von Akkorden}
+
+\begin{definition}
+    Ein Akkord heißt \vocab{stabil} wenn keine Auflösung erwartet wird. (Wir könnten das Stück auf diesem Akkord beenden) 
+\end{definition}
+
+Leitton (Auflösung kl. Halbton nach oben)
+
+
+c g b d $\frac{8}{3}, 4, 5, 6$ bzw. $8, 12, 15, 18$. Die Erinnerung an den Grundton  $c$ macht den Akkord instabil.
+

inputs/uebersicht.tex

@@ -135,3 +135,10 @@ Einige Aspekte werden in klassischer Musiktheorie nicht behandelt:
 
 Wir wollen im Folgenden Musiktheorie aus Mathematik und möglichst einfachen Axiomen aufzubauen.
 
+
+\begin{notation}
+$B\flat \coloneqq B$
+
+$B \coloneqq H$
+    
+\end{notation}