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Josia Pietsch 2022-03-31 15:22:04 +02:00
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@ -165,15 +165,13 @@
\end{question} \end{question}
\todo{Jupyter Notebook (Appendix?)}
\paragraph{Exkurs: Kirchenglocken} \paragraph{Exkurs: Kirchenglocken}
Es ist Sonntag, daher läuten gerade Kirchenglocken. Hier kann man den \vocab{Dopplereffekt} hören. Es ist Sonntag, daher läuten gerade Kirchenglocken. Hier kann man den \vocab{Dopplereffekt} hören.
\begin{remark} \begin{remark}
Diese Sichtweise ist stark geprägt von Akkorden. Wenn man Melodien intoniert, so kommt man teilweise zu gegensätzlichen Ergebnissen. Auf der Geige ist beispielsweise ein $g\sharp$ höher als $a\flat$. Unsere Sichtweise ist stark geprägt von Akkorden. Wenn man Melodien intoniert, so kommt man teilweise zu gegensätzlichen Ergebnissen. Auf der Geige wird beispielsweise ein $g\sharp$ oft höher gespielt als ein $a\flat$.
Siehe auch ``How equal temperament ruined harmony'' S. 47 und 78. Siehe auch ``How equal temperament ruined harmony'' S. 47 und 78.
\end{remark} \end{remark}
@ -197,7 +195,7 @@ TODO: c-Dur Tonleiter mit reinen Dur-Akkorden
\label{cdurrein} \label{cdurrein}
\end{table} \end{table}
Bei Einteilung eines Ganztones ist großen und kleinen Halbton ergeben sich als Schritte $9+8+5+9+8+9+5= 53$. Bei Einteilung eines Ganztons ist großen und kleinen Halbton ergeben sich als Schritte $9+8+5+9+8+9+5= 53$.
\todo{EDO12 Tonleiter vs Tonleiter mit reinen Akkorden ausprobieren} \todo{EDO12 Tonleiter vs Tonleiter mit reinen Akkorden ausprobieren}

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@ -107,7 +107,7 @@ Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner:
\end{definition} \end{definition}
\begin{remark} \begin{remark}
Ein Unterschied von $10ct.$ ist hörbar, im direkten Vergelcih konnten wir im Kurs auch Unterschiede von $3ct.$ hören. Ein Unterschied von $10ct.$ ist hörbar, im direkten Vergleich konnten wir im Kurs auch Unterschiede von $3ct.$ hören.
\url{https://sevish.com/scaleworkshop/} \url{https://sevish.com/scaleworkshop/}
\end{remark} \end{remark}
@ -116,24 +116,19 @@ Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner:
\begin{definition}[Dur] \begin{definition}[Dur]
\vocab{Dur} bezeichnet sowohl eine Tonart, als auch den Akkord, der sich aus den Tönen der 1., 3. und 5. Stufe dieser Tonart ergibt. \vocab{Dur} bezeichnet sowohl eine Tonart, als auch den Akkord, der sich aus den Tönen der 1., 3.~und 5. Stufe dieser Tonart ergibt.
%\begin{abc}[name=c-dur]
% X: 1 % start of header
% K: C % scale: C major
% "Text"c2 G4 | (3FED c4 G2 |
%\end{abc}
TODO: C-Dur-Tonleiter TODO: C-Dur-Tonleiter
Ein Dur-Akkord besteht aus einer großen und einer kleinen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{5}{4}, \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{4}$. Ein Dur-Akkord besteht aus einer großen und einer kleinen Terz, d.h.~die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{5}{4}, \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{4}$.
\end{definition} \end{definition}
\begin{definition}[Moll] \begin{definition}[Moll]
TODO: C-Moll-Tonleiter TODO: C-Moll-Tonleiter
Ein Moll-Akkord besteht aus einer kleinen und einer großen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{6}{5}, \frac{3}{2}$. Ein Moll-Akkord besteht aus einer kleinen und einer großen Terz, d.h.~die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{6}{5}, \frac{3}{2}$.
\end{definition} \end{definition}
\begin{definition}[Septakkord] \begin{definition}[Septakkord]
@ -146,7 +141,7 @@ Ein Moll-Akkord besteht aus einer kleinen und einer großen Terz, d.h. die Töne
Wir suchen ein \vocab{equal temperament} / eine \vocab{gleichstufige Stimmung}, die die wichtigsten Intervalle möglichst gut approximiert. Wir suchen ein \vocab{equal temperament} / eine \vocab{gleichstufige Stimmung}, die die wichtigsten Intervalle möglichst gut approximiert.
\end{problem} \end{problem}
Die ``Wichtigkeit'' eines Intervalls definieren wir dabei über die Größe des Nenners, d.h. die Intervalle sind in absteigender Wichtigkeit: Oktave, Quinte, Quarte, gr. Terz, \dots Die ``Wichtigkeit'' eines Intervalls definieren wir dabei über die Größe des Nenners, d.h.~die Intervalle sind in absteigender Wichtigkeit: Oktave, Quinte, Quarte, gr. Terz, \dots
Falls sowohl Oktaven als auch Quinten übereinstimmen sollen, bräuchten wir $a,b \in \N_{>0}$, so dass $2^a = \left( \frac{3}{2} \right)^b$. Solche existieren offenbar nicht. Falls sowohl Oktaven als auch Quinten übereinstimmen sollen, bräuchten wir $a,b \in \N_{>0}$, so dass $2^a = \left( \frac{3}{2} \right)^b$. Solche existieren offenbar nicht.
@ -225,7 +220,7 @@ Das optimiert zunächst nur Oktaven und Quinten. Da Quarten der Rest einer Quint
Videos zu EDO53: \url{https://www.youtube.com/watch?v=ILcgB_kOWzM}, \url{https://www.youtube.com/watch?v=T5OvAjzWF2Y}, \url{https://www.youtube.com/watch?v=xVZy9GUeMqY} Videos zu EDO53: \url{https://www.youtube.com/watch?v=ILcgB_kOWzM}, \url{https://www.youtube.com/watch?v=T5OvAjzWF2Y}, \url{https://www.youtube.com/watch?v=xVZy9GUeMqY}
Eine große Terz lässt sich durch Quinten erreichen, indem man 4 quinten nach oben und 2 Oktaven nach unten geht. Als Frequenzverhältnis ergibt sich dann $\left( \frac{3}{2} \right)^4 \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{81}{64}$. Die Abweichung $\frac{81}{80}$ zum Frequenzverhältnis $\frac{5}{4}$ wird als \vocab{syntonisches Komma} bezeichnet ($21,5ct.$). Eine große Terz lässt sich durch Quinten erreichen, indem man 4 Quinten nach oben und 2 Oktaven nach unten geht. Als Frequenzverhältnis ergibt sich dann $\left( \frac{3}{2} \right)^4 \cdot \frac{1}{2^2} = \frac{81}{64}$. Die Abweichung $\frac{81}{80}$ zum Frequenzverhältnis $\frac{5}{4}$ wird als \vocab{syntonisches Komma} bezeichnet ($21,5ct.$).
In EDO53 entspricht ein Tonschritt ($22,6ct.$ ) in etwa dem syntonischen Komma. In EDO53 entspricht ein Tonschritt ($22,6ct.$ ) in etwa dem syntonischen Komma.
\begin{remark}[Bohlen-Pierce-Skala] \begin{remark}[Bohlen-Pierce-Skala]
@ -283,11 +278,11 @@ In EDO53 entspricht ein Tonschritt ($22,6ct.$ ) in etwa dem syntonischen Komma.
\end{table} \end{table}
\begin{observe} \begin{observe}
Wenn zwei Töne aus einem Intervall mit rationalem Verhältnis zusamen klingen, fallen viele der Freqeunzen aus dem Obertonspektrum zusammen. Wenn zwei Töne aus einem Intervall mit rationalem Verhältnis zusammen klingen, fallen viele der Frequenzen aus dem Obertonspektrum zusammen.
\end{observe} \end{observe}
\todo{Bild dazu} \todo{Bild dazu}
\paragraph{Erklärungsversuch} Bei Tönen, die nicht in einem rationalen Verhöltnis stehen, werden Schwebungen im Obertonspektrum wahrgenommen und sorgen dafür, dass diese Intervalle nicht gut klingen. \paragraph{Erklärungsversuch} Bei Tönen, die nicht in einem rationalen Verhältnis stehen, werden Schwebungen im Obertonspektrum wahrgenommen und sorgen dafür, dass diese Intervalle nicht gut klingen.
Die Erklärung ist falsch: Auch bei reinen Sinustönen klingen rationale Intervalle besser als andere, jedoch haben diese kein Obertonspektrum. Ferner sind die Schwebungen vermutlich nicht wahrnehmbar. Die Erklärung ist falsch: Auch bei reinen Sinustönen klingen rationale Intervalle besser als andere, jedoch haben diese kein Obertonspektrum. Ferner sind die Schwebungen vermutlich nicht wahrnehmbar.
\subsection{Nichtlineare Effekte} \subsection{Nichtlineare Effekte}
@ -311,7 +306,7 @@ Welche nichtlinearen Effekte können auftreten?
\item Instabilität (1) \item Instabilität (1)
\end{itemize} \end{itemize}
Für die Erklärung der Wahrnehmung von rationalen Intervallen scheinen Däpfung und Instabilität nicht wichtig zu sein, denn die Intervalle klingen auch für reine Sinustöne gut. Für die Erklärung der Wahrnehmung von rationalen Intervallen scheinen Dämpfung und Instabilität nicht wichtig zu sein, denn die Intervalle klingen auch für reine Sinustöne gut.
\subsubsection{Ohr} \subsubsection{Ohr}

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@ -1,3 +1,4 @@
\section{Modulationen}
\begin{definition}[Tonvorrat] \begin{definition}[Tonvorrat]
Ein \vocab{Tonvorrat} ist eine Menge von $n$ Tönen pro Oktave, welche ungefähr gleichmäßig verteilt sind. Ein \vocab{Tonvorrat} ist eine Menge von $n$ Tönen pro Oktave, welche ungefähr gleichmäßig verteilt sind.
\end{definition} \end{definition}
@ -8,10 +9,12 @@
\begin{definition} \begin{definition}
Eine \vocab{Modulation} ist ein Wechsel c$\sharp$\footnote{Enharmonisch auch als $d\flat$ bekannt} Tonvorrates, der nicht auf komplett absurde Weise geschieht. (``lokal sinnvoll'', einzelne Töne werden minimal verändert) Eine \vocab{Modulation} ist ein Wechsel c$\sharp$ %des
Tonvorrates, der nicht auf komplett absurde Weise geschieht. (``lokal sinnvoll'', einzelne Töne werden minimal verändert)
\end{definition} \end{definition}
Tonvorräte: Tonvorräte:
\todo{In Tabelle überführen}
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item $n=2$ : \item $n=2$ :
\begin{itemize} \begin{itemize}
@ -91,6 +94,7 @@
\end{definition} \end{definition}
Leitton (Auflösung kl. Halbton nach oben) Leitton (Auflösung kl. Halbton nach oben)
\todo{In Tabelle überführen}
c g b d $\frac{8}{3}, 4, 5, 6$ bzw. $8, 12, 15, 18$. Die Erinnerung an den Grundton $c$ macht den Akkord instabil. c g b d $\frac{8}{3}, 4, 5, 6$ bzw. $8, 12, 15, 18$. Die Erinnerung an den Grundton $c$ macht den Akkord instabil.

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@ -38,19 +38,18 @@
\item generiert falsifizierbare Hypothesen \item generiert falsifizierbare Hypothesen
\end{itemize} \end{itemize}
Mathematik: In der Mathematik:
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Axiome \item Axiome
\item Folgerungen \item Folgerungen
\item (Konventionen) \item (Konventionen)
\end{itemize} \end{itemize}
Naturwissenschaften: In den Naturwissenschaften:
Eine Theorie sollte auf einfachen Annahmen beruhen und daraus Vorhersagen über die Realität ermöglichen. Eine Theorie sollte auf einfachen Annahmen beruhen und daraus Vorhersagen über die Realität ermöglichen.
\paragraph{Musiktheorie} \paragraph{Musiktheorie}
Wunsch Wunsch
\begin{itemize} \begin{itemize}
\item Allgemein gültige Theorie (erklärt alle Musikstücke) \item Allgemein gültige Theorie (erklärt alle Musikstücke)
@ -133,12 +132,9 @@ Einige Aspekte werden in klassischer Musiktheorie nicht behandelt:
\end{itemize} \end{itemize}
Wir wollen im Folgenden Musiktheorie aus Mathematik und möglichst einfachen Axiomen aufzubauen. Wir wollen im Folgenden Musiktheorie aus Mathematik und möglichst einfachen Axiomen aufbauen.
\begin{notation} \begin{notation}
$B\flat \coloneqq B$ Wir verwenden die angelsächsische Konvention, den Ton $H$ (Ganzton über $A$) als $B$ und den Ton $B$ (Halbton über $A$) als $B\flat$ zu bezeichnen.
$B \coloneqq H$
\end{notation} \end{notation}