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\section{Akkorde}
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\begin{definition}[Akkord]
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Ein \vocab{Akkord} ist eine Menge von mindestens $3$ Tönen.
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\end{definition}
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\begin{notation}
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Für Töne mit Frequenzen $n \cdot \alpha, m \cdot \alpha,\ldots$ notieren wir im Folgenden $n:m:\ldots$.
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\end{notation}
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\begin{example}
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Der Akkord $2:3:4$ wird als \vocab{Powerchord} bezeichnet.
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\begin{itemize}
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\item linear: $2,3,4$
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\item quadratisch: $1,2,4,5,6,6,7,1,8$
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\end{itemize}
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Verglichen mit der Quinte (\autoref{quinte}) kommen einige Kombinationstöne mehrfach, d.h.~lauter, vor.
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TODO: Noten cgc
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\includegraphics{lilypond/cgc.pdf}
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\end{example}
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\begin{example}[Dur-Akkord]
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Wir betrachten den Akkord $3:4:5$.
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\begin{itemize}
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\item linear: $3,4,5$
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\item quadratisch: ...
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\end{itemize}
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Die Kombinationstöne ergeben ein Obertonspektrum des mittleren Tones.
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TODO: Noten cfa
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\end{example}
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\begin{example}
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Wir betrachten den Akkord $3:4:6$.
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TODO: Noten cfc
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\end{example}
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\begin{example}
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$3:5:6$
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TODO: Noten cac
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Als Grundton ergibt sich ein f, welches allerdings im Akkord nicht vorkommt.
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\end{example}
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\begin{example}[Dur-Akkord, Grundstellung]
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$4:5:6$
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TODO: Noten fac
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Als Grundton ergibt sich ein $f$.
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\end{example}
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\begin{example}
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$4:5:7$
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TODO: Noten f a es?
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\end{example}
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\begin{example}
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$4:6:7$
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TODO: Noten f c es?
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$F_{3\!\!\!/}^7$
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\end{example}
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\begin{example}
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$4:5:6:7$
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Dur-Septakkord $F^7$
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TODO: Noten f a c es?
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% Dieser Akkord mit reiner Septime entspricht nicht dem normalerweise verwendeten Dur-Septakkord.
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\end{example}
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\begin{example}
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Der Akkord $5:6:7$ wird als \vocab{verminderter Akkord} bezeichnet.
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TODO: Noten a c es?
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$F\!\!\!\!/^7$
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\end{example}
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\begin{example}
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$5:6:8 $ wird als \vocab{Neapolitaner} bezeichnet.
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TODO: Noten acf
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\end{example}
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\begin{example}[Moll-Akkord]
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Der Akkord $10:12:15$ wird als \vocab{Moll-Akkord} bezeichnet.
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TODO: Noten f as c
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Als Grundton der Kombinationstöne ergibt sich ein des, der \vocab{Gegenklang} zu f.
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\end{example}
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\begin{example}[Großer Dur-Septakkord]
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$8:10:12:15$
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TODO: Noten des f as c
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$D\flat^{\text{maj}7}$
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\end{example}
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\begin{example}[Moll-Septakkord]
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$10 : 12 : 15 : 18$
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TODO: Noten f as c es
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Als Grundton der Kombinationstöne ergibt sich ein des.
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Allerdings ist auch das as relativ stark vorhanden.
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\end{example}
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\begin{example}
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$4:5:6:7:9$
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TODO: Noten f a c es? g
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$F^{7,9}$
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\end{example}
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\begin{quote}
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``Wenn wir Jazz machen, packen wir einfach noch ein paar Terzen drauf.''
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\end{quote}
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\begin{example}[Sixte ajout\'ee]
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$10 : 12 : 15 : 17$ heißt \vocab{Sixte ajout\'ee}.
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TODO: Noten e g h cis
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$C\!\!\!\!/\,\,\,^{\text{maj}7,>8}$
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$12 : 17$ ist ein Tritonus (etwas größer als $\sqrt{2} $).
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Mit Oktavreduktion\footnote{Es handelt sich nicht wirklich um Oktavreduktion, das Verhältnis ändert sich. ($10 : 12 : 15 : 17 \neq 6: 7 : 9 : 10 (A\!\!\!/\,\,^{7,9}/E$)} lässt sich der Akkord umschreiben zu
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TODO: Noten cis e g h
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($5:6:7:9$, $A\!\!\!/^{7,9}$, kein Sixte ajout\'ee)
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\end{example}
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\begin{question}
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Ist Oktavreduktion überhaupt sinnvoll?
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\end{question}
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\todo{Jupyter Notebook (Appendix?)}
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\paragraph{Exkurs: Kirchenglocken}
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Es ist Sonntag, daher läuten gerade Kirchenglocken. Hier kann man den \vocab{Dopplereffekt} hören.
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\begin{remark}
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Diese Sichtweise ist stark geprägt von Akkorden. Wenn man Melodien intoniert, so kommt man teilweise zu gegensätzlichen Ergebnissen. Auf der Geige ist beispielsweise ein $g\sharp$ höher als $a\flat$.
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Siehe auch ``How equal temperament ruined harmony'' S. 47 und 78.
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\end{remark}
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\begin{remark}
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Nach Leopold Mozart teilt sich der Ganzton in eine großen und einen kleinen Halbton, welche im Verhältnis $5 : 4$ stehen. Im Wesentlichen beschreibt das EDO53.
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\end{remark}
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TODO: c-Dur Tonleiter mit reinen Dur-Akkorden
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\begin{table}[htpb]
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\centering
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\caption{C-Dur Tonleiter mit reinen Dur-Akkorden}
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\begin{tabular}{c|cccccccccccccccc}
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Ton&c && d && e && f && g && a && h && c \\
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Verhältnis & $\frac{1}{1}$ && $\frac{9}{8}$ && $\frac{5}{4}$ && $ \frac{4}{3}$ && $ \frac{3}{2}$ && $\frac{5}{3}$ && $\frac{15}{8}$ && $\frac{2}{1}$\\
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Schritt & & $\frac{9}{8}$& & $\frac{10}{9}$& & $\frac{16}{15}$& & $\frac{9}{8}$& & $\frac{10}{9}$& & $\frac{9}{8}$& & $\frac{16}{15}$& \\
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\end{tabular}
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\label{cdurrein}
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\end{table}
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Bei Einteilung eines Ganztones ist großen und kleinen Halbton ergeben sich als Schritte $9+8+5+9+8+9+5= 53$.
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\todo{EDO12 Tonleiter vs Tonleiter mit reinen Akkorden ausprobieren}
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\begin{notation}[Notation für 5-limit-tuning]
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Töne werden immer pythagoräisch notiert. Mit einem $,$ oder ${}^,$ wird eine Verschiebung nach unten oder oben notiert.
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\autoref{cdurrein} wird so als $c~ d~ e,~f~ g~ a,~ h,~ c$ notiert.
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\end{notation}
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\begin{table}[htpb]
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\centering
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\caption{Intervalle in EDO53}
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\label{tab:intervalleedo53}
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\begin{tabular}{c|ccc}
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Intervall & EDO53 & rein & EDO12\\
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\hline
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kl. Sekunde & $3$, $4$, $5$ & $\frac{25}{24}$, $?$, $\frac{16}{15}$ \\
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große Sekunde & $8$, $9$ & $\frac{10}{9}$, $\frac{9}{8}$& $\checked (\frac{9}{8})$, $-4 ct$ \\
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kleine Terz & $13$, $14$ & $\frac{32}{17}$, $\frac{6}{5}$ & $(\checked) (\frac{32}{27})$, $+6ct.$\\
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große Terz & $17$, $18$ & $\frac{5}{4}$, $\frac{81}{64}$ & $(\checked) (\frac{81}{64})$, $-8ct.$ \\
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Quarte & $22$ & $\frac{4}{3}$ & $\checked$, $+2ct.$\\
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Tritonus & $26$, $27$ & $\sqrt{2} \approx \frac{7}{5}, \frac{10}{7}, \frac{17}{2}$ \\
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Quinte & $31$ & $\frac{3}{2}$ & $\checked$, $-2ct.$\\
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kl. Sexte & $35$, $36$ & $\frac{128}{81}, \frac{8}{5}$\\
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gr. Sexte & $39$, $40$ & $\frac{5}{3}, \frac{27}{16}$ & $(\checked) (\frac{27}{16})$, $-6ct.$\\
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kl. Septime & $43$, $44$, $45$ & $\frac{7}{4}$, $\frac{16}{9}$, $\frac{9}{5}$ & $\checked (\frac{16}{9})+4ct.$\\
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\end{tabular}
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\end{table}
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\todo{Aufgabe 2, Stück in EDO53}
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\begin{definition}
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\vocab{leittönig} $\coloneqq$ keine großen Halbtonschritte
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\end{definition}
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Buchempfehlung: ``A Geometry of Music'' - Dmitri Tymoczko
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\begin{definition}
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Wir definieren eine Metrik auf der Menge der Tonvorräte, wobei $\text{dist}(T, T')$ die minimale Anzahl an Halbtonschritten sei, die geändert werden müssen, um von $T$ zu $T'$ zu gelangen.
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\end{definition}
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\begin{definition}
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Eine \vocab{Modulation} ist ein Wechsel c$\sharp$\footnote{Enhamonisch auch als $d\flat$ bekannt} Tonvorrates, der nicht auf komplett absurde Weise geschieht. (``lokal sinnvoll'')
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\end{definition}
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Tonvorräte:
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\begin{itemize}
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\item $n=2$ :
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\begin{itemize}
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\item 6,6 (Halbtonschritte EDO12)
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z.B. $C, F\sharp$
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\item $7,5$
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z.B. $C,G$
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\end{itemize}
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\end{itemize}
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