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\section{Übersicht}
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\subsection{Was ist Musiktheorie?}
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\paragraph{Musik}
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\begin{itemize}
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\item Melodien
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\item Harmonien
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\item Rhythmus
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\item Dynamik
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\item Instrumente
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\begin{itemize}
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\item Klangfarbe
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\end{itemize}
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\item Erzählungsstruktur
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\end{itemize}
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\begin{figure}
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\centering
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\begin{tikzcd}
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\text{Noten} \arrow{r}{}& \text{Instrumente}\arrow{d}{}\\
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& \text{Schall}\arrow{d}{} \\
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\text{Empfindung} \arrow{uu}{\text{komponieren}} & \text{Ohr}\arrow{l}{}
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\end{tikzcd}
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\label{musikkomdiag}
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\end{figure}
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\paragraph{Theorie}
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\begin{itemize}
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\item Abstraktion
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\item Analyse
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\item Struktur/Erklärungen
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\item Modell
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\item generiert falsifizierbare Hypothesen
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\end{itemize}
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Mathematik:
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\begin{itemize}
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\item Axiome
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\item Folgerungen
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\item (Konventionen)
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\end{itemize}
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Naturwissenschaften:
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Eine Theorie sollte auf einfachen Annahmen beruhen und daraus Vorhersagen über die Realität ermöglichen.
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\paragraph{Musiktheorie}
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Wunsch
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\begin{itemize}
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\item Allgemein gültige Theorie (erklärt alle Musikstücke)
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\item Empfindung erklären (siehe \autoref{musikkomdiag})
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\item Klassifikation von Musik
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\item Abgrenzung zu nicht-Musik
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\item Neue Musik generieren $\leadsto$ Hypothesentest
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\end{itemize}
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Realität
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\begin{itemize}
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\item Gültigkeit beschränkt auf westliche, europäische Musik, ausgewählter männlicher, weißer Künstler aus dem 16. - 20. Jh.
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\item Klassifikation funktioniert innerhalb des Gültigkeitsbereiches recht gut.
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\item Heuristiken
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\item Erklärung funktioniert nicht
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\item Hilfsmittel zum Generieren neuer Musik
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\item grenzt (mit Absicht!\footnote{Empfehlung: \url{https://www.youtube.com/watch?v=Kr3quGh7pJA}}) gegenüber nicht-weißer Musik ab
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\end{itemize}
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\subsection{Aspekte von Musiktheorie}
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Worüber trifft Musiktheorie Aussagen?
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\begin{itemize}
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\item Tonleitern (Auswahl aus dem Tonvorrat) - Axiom
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\item Tonart (Tonleiter mit Grundton) - Axiom
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\item Harmonie
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\begin{itemize}
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\item Intervalle - Folgerung
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\item Akkorde - Folgerung
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\begin{itemize}
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\item Terzschichtungen - Konvention
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\end{itemize}
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\item Kadenzen - Folgerung?
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\item Konsonanz, Dissonanz - Axiom
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\end{itemize}
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\item Tonsatz, z.B. Generalbass - Folgerung
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\item Betonung - Konvention
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\item Rhythmus - Konvention
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\item Formlehre - Konvention
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\item Melodien / Stimmführung - Axiom
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\item Modulation - Folgerung
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\item Instrumentation - Konvention
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\item Tonvorrat - Axiom
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\item Kammerton - Konvention
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\item Enharmonik - Folgerung
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\item Notation - Konvention
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\end{itemize}
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\begin{question}
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Existieren Leittöne auch in anderen Musikrichtungen?
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\end{question}
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\paragraph{Stilmittel}
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\begin{itemize}
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\item Vibrato
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\item Glissando
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\item Flageoletttöne
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\item Verzerrungen
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\item Verzierungen
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\end{itemize}
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Einige Aspekte werden in klassischer Musiktheorie nicht behandelt:
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\begin{itemize}
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\item Stimmungssysteme
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\item Rhythmus
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\item Dynamik
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\item Klangfarbe
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\item Raumzeit$^\text{TM}$
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\end{itemize}
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Wir wollen im Folgenden Musiktheorie aus Mathematik und möglichst einfachen Axiomen aufzubauen.
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\subsection{Intervalle}
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\begin{definition}[Schall]
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\vocab{Schall} ist eine Funktion $f: \text{Zeit} \to \text{Druck}$ bzw. $f: \text{Zeit} \to \text{Luftbewegung}$
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\end{definition}
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\begin{definition}[Ton]
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Ein \vocab{Ton} entspricht einer Schwingungsfrequenz.
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\end{definition}
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\begin{observe}
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Die Funktion $\sin(2\pi \cdot f \cdot t)$ ist periodisch mit $T_0$ genau dann, wenn $f = k \cdot \frac{1}{T_0}$ für ein $k \in \Z$.
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\end{observe}
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\begin{definition}[Lineares Modell der MTT]
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Jede Funktion mit Periode $T_0$ kann als Summe von Funktionen der Form $a \cdot \sin(2\pi \cdot f \cdot t), a\cdot \cos(2\pi\cdot f\cdot t)$, $f = k \cdot \frac{1}{T_0}, a \in \R, k \in \Z$ dargestellt werden.
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Für $k=1$ ergibt sich die \vocab{Grundfrequenz} $\frac{2\pi}{T}$, für $k \ge 2$ reden wir von \vocab[Oberton]{Obertönen}.
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\end{definition}
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\todo{Obertöne Saiteninstrument (Alle Obertöne), Flöte, Querflöte (Obertöne nur für $k \in 2\N + 1$)}
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\begin{table}[htpb]
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\centering
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\caption{Obertöne}
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\label{tab:obertoene}
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\begin{tabular}{clcccc}
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$k$ & Ton & Frequenz-& Halb- & EDO12 & Reine Intervalle\\
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& & verhältnis & töne& &(Cent) \\
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\hline
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$1$ & C \\
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& $\shortdownarrow$ Oktave & $2$ & $10$ & $2,000$ & $1200$\\
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$2$ & C \\
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& $\shortdownarrow$ Quinte & $\frac{3}{2}$ & $7$ & $1,4989$ & $702$\\
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$3$ & G \\
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&$\shortdownarrow$ Quarte & $\frac{4}{3}$ & $5$ & $1,3348$ & $498$\\
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$4$ & C\\
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&$\shortdownarrow$ gr. Terz & $\frac{5}{4}$ & $4$ & $1,2599$ & $386$\\
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$5$ & E \\
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&$\shortdownarrow$ kl. Terz & $\frac{6}{5}$ & $3$ & $1,1892$ & $316$\\
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$6$ & G\\
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&$\shortdownarrow$ & $\frac{7}{6}$ & $3$? & & $267$\\
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$7$ & B ? \\
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&$\shortdownarrow$ & $\frac{8}{7}$ & $2$? & & $231$\\
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$8$ & C\\
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&$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{9}{8}$ & $2$ & $1,1225$ & $204$\\
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$9$ & D \\
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&$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{10}{9}$ & 2 & $1,1225$& $182$\\
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$10$ & E \\
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\end{tabular}
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\end{table}
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\begin{observe}
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$\frac{9}{8} = \frac{10}{9}$ ???
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\end{observe}
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Es ergeben sich außerdem
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\begin{table}[htpb]
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\centering
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\caption{Intervalle}
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\label{tab:intervale}
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\begin{tabular}{lll}
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Intervall & Verhältnis & Reines Intervall (Cent)\\
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gr. Sexte & $\frac{5}{3}$ &$884$\\
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kl. Sexte & $\frac{8}{5}$ &$814$\\
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kl. Septime & $\frac{9}{5} \approx \frac{7}{4}$ & $1018 \approx 969$\\
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Tritonus & $\sqrt{2}$
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\end{tabular}
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\end{table}
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\begin{remark}
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Es ergibt sich als Frequenzverhältnis (in Bezug auf C)
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für gis (über E) $25:16$
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und für as $8:5$. Diese Töne sind hier also tatsächlich verschieden.
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\end{remark}
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\todo{Skizze: Versuch der Konstruktion eines Tonvorrates mit sauberen Intervallen}
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Buchempfehlung: R. Duffin - ``How equal temperament ruined harmony - and why you should care''.
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\todo{Bild Flageoletttöne}
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Da das leider nicht genau aufgeht definieren wir als atomares Intervall:
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\begin{definition}[Halbton]
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\vocab{Halbton} $\coloneqq 2^{\frac{1}{12}}$.
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Dieses Stimmungssystem nennt sich \vocab{EDO12} oder auch \vocab{12-TET}.
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\end{definition}
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Dementsprechend ist ein Intervall mit $n$ Halbtonschritten definiert als $2^{\frac{n}{12}}$.
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Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner:
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\begin{definition}[Cent]
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\vocab{Cent} $\coloneqq 2^{\frac{1}{1200}}$
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\end{definition}
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\begin{remark}
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Die Wahrnehmungsschwelle liegt bei \todo{Recherchieren}
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\end{remark}
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