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Josia Pietsch 2022-03-25 12:03:43 +01:00
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@ -23,7 +23,7 @@
\begin{table}[htpb] \begin{table} %[htpb]
\centering \centering
\caption{Obertöne} \caption{Obertöne}
\label{tab:obertoene} \label{tab:obertoene}
@ -57,9 +57,9 @@
\begin{observe} \begin{observe}
$\frac{9}{8} = \frac{10}{9}$ ??? $\frac{9}{8} = \frac{10}{9}$ ???
\end{observe} \end{observe}
Es ergeben sich außerdem Es ergeben sich außerdem
\begin{table}[htpb]
\begin{table} %[htpb]
\centering \centering
\caption{Intervalle} \caption{Intervalle}
\label{tab:intervale} \label{tab:intervale}
@ -98,6 +98,7 @@ Da das leider nicht genau aufgeht definieren wir als atomares Intervall:
Dieses Stimmungssystem nennt sich \vocab{EDO12} oder auch \vocab{12-TET}. Dieses Stimmungssystem nennt sich \vocab{EDO12} oder auch \vocab{12-TET}.
\end{definition} \end{definition}
Dementsprechend ist ein Intervall mit $n$ Halbtonschritten definiert als $2^{\frac{n}{12}}$. Dementsprechend ist ein Intervall mit $n$ Halbtonschritten definiert als $2^{\frac{n}{12}}$.
Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner: Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner:
@ -106,8 +107,7 @@ Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner:
\end{definition} \end{definition}
\begin{remark} \begin{remark}
Ein Unterschied von $10ct.$ ist hörbar, im direkten Vergelcih konnten wir im Kurs auch Unterschiede von $3ct.$ hören. \todo{Recherchieren} Ein Unterschied von $10ct.$ ist hörbar, im direkten Vergelcih konnten wir im Kurs auch Unterschiede von $3ct.$ hören.
\url{https://sevish.com/scaleworkshop/} \url{https://sevish.com/scaleworkshop/}
\end{remark} \end{remark}
@ -123,12 +123,15 @@ Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner:
% "Text"c2 G4 | (3FED c4 G2 | % "Text"c2 G4 | (3FED c4 G2 |
%\end{abc} %\end{abc}
\todo{C-Dur-Tonleiter}
[todo]: C-Dur-Tonleiter
Ein Dur-Akkord besteht aus einer großen und einer kleinen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{5}{4}, \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{4}$. Ein Dur-Akkord besteht aus einer großen und einer kleinen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{5}{4}, \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{4}$.
\end{definition} \end{definition}
\begin{definition}[Moll] \begin{definition}[Moll]
\todo{C-Moll-Tonleiter} [todo]: C-Moll-Tonleiter
Ein Moll-Akkord besteht aus einer kleinen und einer großen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{6}{5}, \frac{3}{2}$. Ein Moll-Akkord besteht aus einer kleinen und einer großen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{6}{5}, \frac{3}{2}$.
\end{definition} \end{definition}
@ -170,6 +173,7 @@ Eine Näherung ist besser, je größer die erste weggelassene Zahl ist. Näherun
\] \]
\end{example} \end{example}
Die Kettenbruchentwicklung von $\frac{\log 2}{ \log \frac{3}{2}}$ ist $[1; 1,2,2,3,1,5,2,23, \ldots]$. Die Kettenbruchentwicklung von $\frac{\log 2}{ \log \frac{3}{2}}$ ist $[1; 1,2,2,3,1,5,2,23, \ldots]$.
Näherungen sind: Näherungen sind:
\begin{itemize} \begin{itemize}
@ -232,3 +236,164 @@ In EDO53 entspricht ein Tonschritt ($22,6ct.$ ) in etwa dem syntonischen Komma.
\begin{remark} \begin{remark}
In der Musik aller Kulturen findet sich das Konzept einer Oktave. In der Musik aller Kulturen findet sich das Konzept einer Oktave.
\end{remark} \end{remark}
% Tag 4
\begin{question}
Gibt es einen Grund dafür, dass rationale Intervalle gut klingen?
\end{question}
\paragraph{Erinnerung: Lineares Modell}
\begin{figure} %[H]
\centering
\begin{tikzcd}
\text{Klang} \arrow{r}{}& \arrow{l}{} \text{Überlagerung von Frequenzen}
\end{tikzcd}
\end{figure}
\todo{Bild Dreiecksschwingung als Überlagerung von Frequenzen}
\[
\sin(\frac{2\pi}{T}\cdot t) - \frac{1}{3^2} \sin(3 \cdot \frac{2\pi}{T} t) + \frac{1}{5^2} \sin(5 \cdot \frac{2\pi}{T}t) - \ldots
\]
\todo{Bild Fouriertransformation}
\begin{question}
Ist die Phasenverschiebung der einzelnen Komponenten für den Klang relevant?
\end{question}
\todo{ausprobieren}
\todo{Diskrete Fouriertransformation aus AlMa abschreiben}
\todo{FFT}
\footnote{In Audacity kann man ein Frequenzspektrum unter Analyze $\to $ Plot Spectrum berechnen}
\begin{table}
\centering
\caption{Fouriertransformation}
\begin{tabular}{ccc}
& diskret & kontinuierlich \\
endliche Länge & DFT / FFT & Fourieranalyse (diskrete Frequenzen) \\
unendlich & braucht man nicht & Fouriertransformation\\
\end{tabular}
\end{table}
\begin{observe}
Wenn zwei Töne aus einem Intervall mit rationalem Verhältnis zusamen klingen, fallen viele der Freqeunzen aus dem Obertonspektrum zusammen.
\end{observe}
\todo{Bild dazu}
\paragraph{Erklärungsversuch} Bei Tönen, die nicht in einem rationalen Verhöltnis stehen, werden Schwebungen im Obertonspektrum wahrgenommen und sorgen dafür, dass diese Intervalle nicht gut klingen.
Die Erklärung ist falsch: Auch bei reinen Sinustönen klingen rationale Intervalle besser als andere, jedoch haben diese kein Obertonspektrum. Ferner sind die Schwebungen vermutlich nicht wahrnehmbar.
\subsection{Nichtlineare Effekte}
Erinnerung:
\begin{tikzcd}
\text{Noten} \arrow{r}{1}& \text{Instrumente}\arrow{d}{2}\\
& \text{Schall}\arrow{d}{3} \\
\text{Empfindung} \arrow{uu}{\text{komponieren}} & \text{Ohr}\arrow{l}{4}
\end{tikzcd}
(1) und (2) können wir mit digitaler Technik kontrollieren.
Welche nichtlinearen Effekte können auftreten?
\begin{itemize}
\item Dämpfung / Anregung (2)
\item Ohr (3)
\item neuronale Prozesse (Aktivierungsfunktion in ML) (4)
\item Instabilität (1)
\end{itemize}
Für die Erklärung der Wahrnehmung von rationalen Intervallen scheinen Däpfung und Instabilität nicht wichtig zu sein, denn die Intervalle klingen auch für reine Sinustöne gut.
\subsubsection{Ohr}
Es gibt keinen Grund anzunehmen, dass das Ohr Schall linear wahrnimmt. Beispielsweise die Trichterform des Gehörganges sorgt für Verzerrung
Annahme: Die Nichtlinearität wirkt nur auf die Auslenkung zum aktuellen Zeitpunkt.
Sei Schall gegeben durch $a(t)$ und eine nichtlineare Verzerrung $g$.
Sei $a(t) = \sin(\alpha t) + \sin(\beta t)$.
Wir können $g$ mit einer Taylorreihe approximieren\footnote{\url{https://www.youtube.com/watch?v=3d6DsjIBzJ4}}.
Sei $g(x) = c_0 + c_1x+ c_2x^2 + \ldots$.
Es ergibt sich für den quadratischen Term:
\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
(\sin \alpha t + \sin \beta t)^2 &=& (\sin \alpha t)^2 + 2 \sin \alpha t \sin \beta t + (\sin \beta t)^2\\
&\overset{?}{=}& \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 \alpha t + \cos(\alpha t - \beta t) \cos (\alpha t + \beta t)
+ \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 \beta t\\
\end{IEEEeqnarray*}
Die hierdurch entstehenden Töne mit Frequenzen $\alpha - \beta, \ldots$ werden als \vocab[Kombinationston]{Kombinationstöne} bezeichnet.
\begin{observe}
Für verschiedene $\alpha, \beta$ in der selben Größenordnung kann $\alpha - \beta$ von deutlich anderer Größenordnung sein.
\end{observe}
Bei einem rationalen Intervall wird hierdurch auch der Grundton hörbar (\vocab{Rekonstruktion des Grundtones}).
Man kann das ausprobieren ({\color{red}ACHTUNG UNANGENEHM!}): \url{http://szhorvat.net/pelican/combination-tones.html}
Siehe auch \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Beat_(acoustics)#Binaural_beats}.
Für das selbe Signal mit verschiedener Lautstärke, $b(t) \coloneqq \lambda a(t), \lambda < 1$, ändert sich dieser Effekt, bei größerer Lautstärke wird der Kombinationston relativ lauter.
\begin{example}[Quinte]
Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $2\alpha$ und $3\alpha$.
Als Kombinationstöne ergeben sich:
\begin{itemize}
\item linear: $2 \alpha, 3 \alpha$
\item quadratisch: $4\alpha, \alpha, 5 \alpha, 6 \alpha$
\item kubisch: $6 \alpha, \alpha, 7 \alpha, 9 \alpha, 4 \alpha, 8 \alpha$
\item ...
\end{itemize}
Insgesamt ergibt sich der Grundton $\alpha$ mit einem Obertonspektrum.
\end{example}
\begin{example}[kl. Septime]
Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $4 \alpha, 7 \alpha$
\begin{itemize}
\item linear: $4\alpha, 7 \alpha$
\item quadratisch: $3 \alpha, 8 \alpha, 11 \alpha, 14 \alpha$
\item kubisch: $1 \alpha, 10 \alpha, 12 \alpha, 15 \alpha, 18 \alpha, 21 \alpha$
\item ...
\end{itemize}
\end{example}
\begin{example}[Quarte]
Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $3 \alpha, 4 \alpha$
\begin{itemize}
\item linear: $3\alpha, 4 \alpha$
\item quadratisch: $\alpha,6 \alpha, 7 \alpha, 8 \alpha$
\end{itemize}
Es ergibt sich eine oktavierte Version des höheren Tones mit Obertonspektrum.
\end{example}
\begin{example}[unsaubere Quinte]
Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $2 \alpha, 2.99 \alpha$
\begin{itemize}
\item linear: $2 \alpha, 2.99 \alpha$
\item quadratisch: $4\alpha, {\color{red}0.99 \alpha}, 4.99 \alpha, 5.98 \alpha$
\item kubisch: ${\color{red}1.01\alpha}, 3.98 \alpha, 6 \alpha, 6. 99 \alpha, 7.98 \alpha, 8.97\alpha$
\end{itemize}
Es ergeben sich Schwebungen wischen den Kombinationstönen.
Es ist unklar, ob die Schwebungen und/oder der sehr tiefe Kombinationston $0.02 \alpha$ dafür sorgt, dass das Intervall als unangenehm wahrgenommen wird.
\end{example}

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