Tag 4

inputs/intervalle.tex

@@ -23,7 +23,7 @@
 
 
 
-\begin{table}[htpb]
+\begin{table} %[htpb]
     \centering
     \caption{Obertöne}
     \label{tab:obertoene}
@@ -57,9 +57,9 @@
 \begin{observe}
     $\frac{9}{8} = \frac{10}{9}$ ???
 \end{observe}
-
 Es ergeben sich außerdem
-\begin{table}[htpb]
+
+\begin{table} %[htpb]
     \centering
     \caption{Intervalle}
     \label{tab:intervale}
@@ -98,6 +98,7 @@ Da das leider nicht genau aufgeht definieren wir als atomares Intervall:
 Dieses Stimmungssystem nennt sich \vocab{EDO12} oder auch \vocab{12-TET}.
 \end{definition}
 
+
 Dementsprechend ist ein Intervall mit $n$ Halbtonschritten definiert als $2^{\frac{n}{12}}$.
 
 Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner:
@@ -106,8 +107,7 @@ Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner:
 \end{definition}
 
 \begin{remark}
-    Ein Unterschied von $10ct.$ ist hörbar, im direkten Vergelcih konnten wir im Kurs auch Unterschiede von $3ct.$ hören. \todo{Recherchieren} 
+    Ein Unterschied von $10ct.$ ist hörbar, im direkten Vergelcih konnten wir im Kurs auch Unterschiede von $3ct.$ hören.
-
     \url{https://sevish.com/scaleworkshop/}
 \end{remark}
 
@@ -123,12 +123,15 @@ Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner:
 %        "Text"c2 G4 | (3FED c4 G2 |
 %\end{abc}
 
-\todo{C-Dur-Tonleiter}
+
+[todo]: C-Dur-Tonleiter
+
 Ein Dur-Akkord besteht aus einer großen und einer kleinen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{5}{4}, \frac{5}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{6}{4}$.
 \end{definition}
+
 \begin{definition}[Moll]
     
-\todo{C-Moll-Tonleiter}
+[todo]: C-Moll-Tonleiter
 
 Ein Moll-Akkord besteht aus einer kleinen und einer großen Terz, d.h. die Töne haben Frequenzverhältnisse von $1, \frac{6}{5}, \frac{3}{2}$.
 \end{definition}
@@ -170,6 +173,7 @@ Eine Näherung ist besser, je größer die erste weggelassene Zahl ist. Näherun
     \] 
 \end{example}
 
+
 Die Kettenbruchentwicklung von $\frac{\log 2}{ \log \frac{3}{2}}$ ist $[1; 1,2,2,3,1,5,2,23, \ldots]$.
 Näherungen sind:
 \begin{itemize}
@@ -232,3 +236,164 @@ In EDO53 entspricht ein Tonschritt ($22,6ct.$ ) in etwa dem syntonischen Komma.
 \begin{remark}
     In der Musik aller Kulturen findet sich das Konzept einer Oktave.
 \end{remark}
+
+% Tag 4
+\begin{question}
+   Gibt es einen Grund dafür, dass rationale Intervalle gut klingen? 
+\end{question}
+\paragraph{Erinnerung: Lineares Modell}
+
+\begin{figure} %[H]
+    \centering
+    \begin{tikzcd}
+        \text{Klang} \arrow{r}{}& \arrow{l}{} \text{Überlagerung von Frequenzen}	
+    \end{tikzcd}
+\end{figure}
+
+\todo{Bild Dreiecksschwingung als Überlagerung von Frequenzen}
+
+\[
+\sin(\frac{2\pi}{T}\cdot t) - \frac{1}{3^2} \sin(3 \cdot \frac{2\pi}{T} t) + \frac{1}{5^2} \sin(5 \cdot  \frac{2\pi}{T}t) - \ldots
+\]
+
+
+\todo{Bild Fouriertransformation}
+
+
+\begin{question}
+    Ist die Phasenverschiebung der einzelnen Komponenten für den Klang relevant?
+\end{question}
+\todo{ausprobieren}
+
+
+\todo{Diskrete Fouriertransformation aus AlMa abschreiben}
+\todo{FFT}
+
+
+\footnote{In Audacity kann man ein Frequenzspektrum unter Analyze $\to $ Plot Spectrum berechnen}
+
+\begin{table}
+    \centering
+    \caption{Fouriertransformation}
+    \begin{tabular}{ccc}
+        & diskret & kontinuierlich \\
+        endliche Länge & DFT / FFT & Fourieranalyse (diskrete Frequenzen) \\
+        unendlich & braucht man nicht  & Fouriertransformation\\ 
+    \end{tabular}
+\end{table}
+
+\begin{observe}
+    Wenn zwei Töne aus einem Intervall mit rationalem Verhältnis zusamen klingen, fallen viele der Freqeunzen aus dem Obertonspektrum zusammen.
+\end{observe}
+\todo{Bild dazu}
+
+\paragraph{Erklärungsversuch} Bei Tönen, die nicht in einem rationalen Verhöltnis stehen, werden Schwebungen im Obertonspektrum wahrgenommen und sorgen dafür, dass diese Intervalle nicht gut klingen.
+Die Erklärung ist falsch: Auch bei reinen Sinustönen klingen rationale Intervalle besser als andere, jedoch haben diese kein Obertonspektrum. Ferner sind die Schwebungen vermutlich nicht wahrnehmbar.
+
+\subsection{Nichtlineare Effekte}
+
+
+Erinnerung:
+    \begin{tikzcd}
+        \text{Noten} \arrow{r}{1}& \text{Instrumente}\arrow{d}{2}\\	
+                         & \text{Schall}\arrow{d}{3} \\
+        \text{Empfindung} \arrow{uu}{\text{komponieren}}       & \text{Ohr}\arrow{l}{4}
+    \end{tikzcd}
+
+
+(1) und (2) können wir mit digitaler Technik kontrollieren.
+Welche nichtlinearen Effekte können auftreten?
+
+\begin{itemize}
+    \item Dämpfung / Anregung (2)
+    \item Ohr (3)
+    \item neuronale Prozesse (Aktivierungsfunktion in ML) (4)
+    \item Instabilität (1)
+\end{itemize}
+
+Für die Erklärung der Wahrnehmung von rationalen Intervallen scheinen Däpfung und Instabilität nicht wichtig zu sein, denn die Intervalle klingen auch für reine Sinustöne gut.
+
+\subsubsection{Ohr}
+
+Es gibt keinen Grund anzunehmen, dass das Ohr Schall linear wahrnimmt. Beispielsweise die Trichterform des Gehörganges sorgt für Verzerrung
+
+Annahme: Die Nichtlinearität wirkt nur auf die Auslenkung zum aktuellen Zeitpunkt.
+
+Sei Schall gegeben durch $a(t)$ und eine nichtlineare Verzerrung $g$.
+
+Sei $a(t) = \sin(\alpha t) + \sin(\beta t)$.
+
+Wir können $g$ mit einer Taylorreihe approximieren\footnote{\url{https://www.youtube.com/watch?v=3d6DsjIBzJ4}}.
+
+Sei $g(x) = c_0 + c_1x+ c_2x^2 + \ldots$.
+Es ergibt sich für den quadratischen Term:
+\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
+    (\sin \alpha t + \sin \beta t)^2 &=& (\sin \alpha t)^2 + 2 \sin \alpha t \sin \beta t + (\sin \beta t)^2\\
+                                     &\overset{?}{=}& \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 \alpha t + \cos(\alpha t - \beta t)  \cos (\alpha t + \beta t) 
+                                      + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2 \beta t\\
+\end{IEEEeqnarray*}
+
+Die hierdurch entstehenden Töne mit Frequenzen $\alpha - \beta, \ldots$ werden als \vocab[Kombinationston]{Kombinationstöne} bezeichnet.
+
+\begin{observe}
+    Für verschiedene $\alpha, \beta$ in der selben Größenordnung kann $\alpha - \beta$ von deutlich anderer Größenordnung sein.
+\end{observe}
+
+Bei einem rationalen Intervall wird hierdurch auch der Grundton hörbar (\vocab{Rekonstruktion des Grundtones}).
+
+Man kann das ausprobieren ({\color{red}ACHTUNG UNANGENEHM!}): \url{http://szhorvat.net/pelican/combination-tones.html}
+
+Siehe auch \url{https://en.wikipedia.org/wiki/Beat_(acoustics)#Binaural_beats}.
+
+
+
+Für das selbe Signal mit verschiedener Lautstärke, $b(t) \coloneqq \lambda a(t), \lambda < 1$, ändert sich dieser Effekt, bei größerer Lautstärke wird der Kombinationston relativ lauter. 
+
+\begin{example}[Quinte]
+    Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $2\alpha$ und $3\alpha$.
+    Als Kombinationstöne ergeben sich:
+    \begin{itemize}
+        \item linear: $2 \alpha, 3 \alpha$
+        \item quadratisch: $4\alpha, \alpha, 5 \alpha, 6 \alpha$ 
+        \item kubisch: $6 \alpha, \alpha, 7 \alpha, 9 \alpha, 4 \alpha, 8 \alpha$
+        \item ...
+    \end{itemize}
+    Insgesamt ergibt sich der Grundton $\alpha$ mit einem Obertonspektrum.
+
+\end{example}
+
+\begin{example}[kl. Septime]
+    Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $4 \alpha, 7 \alpha$
+    \begin{itemize}
+        \item linear: $4\alpha, 7 \alpha$
+        \item quadratisch:  $3 \alpha, 8 \alpha, 11 \alpha, 14 \alpha$
+        \item kubisch: $1 \alpha, 10 \alpha, 12 \alpha, 15 \alpha, 18 \alpha, 21 \alpha$
+        \item ...
+    \end{itemize}
+    
+\end{example}
+
+
+\begin{example}[Quarte]
+    Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $3 \alpha, 4 \alpha$
+    \begin{itemize}
+        \item linear: $3\alpha, 4 \alpha$
+        \item quadratisch: $\alpha,6 \alpha, 7 \alpha, 8 \alpha$
+    \end{itemize}
+
+    Es ergibt sich eine oktavierte Version des höheren Tones mit Obertonspektrum.
+\end{example}
+
+\begin{example}[unsaubere Quinte]
+    Wir betrachten das Intervall aus Tönen mit Frequenz $2 \alpha, 2.99 \alpha$
+    \begin{itemize}
+        \item linear: $2 \alpha, 2.99 \alpha$ 
+        \item quadratisch: $4\alpha, {\color{red}0.99 \alpha}, 4.99 \alpha, 5.98 \alpha$
+        \item kubisch: ${\color{red}1.01\alpha}, 3.98 \alpha, 6 \alpha, 6. 99 \alpha, 7.98 \alpha, 8.97\alpha$
+    \end{itemize}
+
+    Es ergeben sich Schwebungen wischen den Kombinationstönen.
+
+    Es ist unklar, ob die Schwebungen und/oder der sehr tiefe Kombinationston $0.02 \alpha$ dafür sorgt, dass das Intervall als unangenehm wahrgenommen wird.
+\end{example}
+