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Josia Pietsch 2022-03-23 12:04:06 +01:00
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\section{Übersicht}
\subsection{Was ist Musiktheorie?}
\paragraph{Musik}
\begin{itemize}
\item Melodien
\item Harmonien
\item Rhythmus
\item Dynamik
\item Instrumente
\begin{itemize}
\item Klangfarbe
\end{itemize}
\item Erzählungsstruktur
\end{itemize}
\begin{figure}
\centering
\begin{tikzcd}
\text{Noten} \arrow{r}{}& \text{Instrumente}\arrow{d}{}\\
& \text{Schall}\arrow{d}{} \\
\text{Empfindung} \arrow{uu}{\text{komponieren}} & \text{Ohr}\arrow{l}{}
\end{tikzcd}
\label{musikkomdiag}
\end{figure}
\paragraph{Theorie}
\begin{itemize}
\item Abstraktion
\item Analyse
\item Struktur/Erklärungen
\item Modell
\item generiert falsifizierbare Hypothesen
\end{itemize}
Mathematik:
\begin{itemize}
\item Axiome
\item Folgerungen
\item (Konventionen)
\end{itemize}
Naturwissenschaften:
Eine Theorie sollte auf einfachen Annahmen beruhen und daraus Vorhersagen über die Realität ermöglichen.
\paragraph{Musiktheorie}
Wunsch
\begin{itemize}
\item Allgemein gültige Theorie (erklärt alle Musikstücke)
\item Empfindung erklären (siehe \autoref{musikkomdiag})
\item Klassifikation von Musik
\item Abgrenzung zu nicht-Musik
\item Neue Musik generieren $\leadsto$ Hypothesentest
\end{itemize}
Realität
\begin{itemize}
\item Gültigkeit beschränkt auf westliche, europäische Musik, ausgewählter männlicher, weißer Künstler aus dem 16. - 20. Jh.
\item Klassifikation funktioniert innerhalb des Gültigkeitsbereiches recht gut.
\item Heuristiken
\item Erklärung funktioniert nicht
\item Hilfsmittel zum Generieren neuer Musik
\item grenzt (mit Absicht!\footnote{Empfehlung: \url{https://www.youtube.com/watch?v=Kr3quGh7pJA}}) gegenüber nicht-weißer Musik ab
\end{itemize}
\subsection{Aspekte von Musiktheorie}
Worüber trifft Musiktheorie Aussagen?
\begin{itemize}
\item Tonleitern (Auswahl aus dem Tonvorrat) - Axiom
\item Tonart (Tonleiter mit Grundton) - Axiom
\item Harmonie
\begin{itemize}
\item Intervalle - Folgerung
\item Akkorde - Folgerung
\begin{itemize}
\item Terzschichtungen - Konvention
\end{itemize}
\item Kadenzen - Folgerung?
\item Konsonanz, Dissonanz - Axiom
\end{itemize}
\item Tonsatz, z.B. Generalbass - Folgerung
\item Betonung - Konvention
\item Rhythmus - Konvention
\item Formlehre - Konvention
\item Melodien / Stimmführung - Axiom
\item Modulation - Folgerung
\item Instrumentation - Konvention
\item Tonvorrat - Axiom
\item Kammerton - Konvention
\item Enharmonik - Folgerung
\item Notation - Konvention
\end{itemize}
\begin{question}
Existieren Leittöne auch in anderen Musikrichtungen?
\end{question}
\paragraph{Stilmittel}
\begin{itemize}
\item Vibrato
\item Glissando
\item Flageoletttöne
\item Verzerrungen
\item Verzierungen
\end{itemize}
Einige Aspekte werden in klassischer Musiktheorie nicht behandelt:
\begin{itemize}
\item Stimmungssysteme
\item Rhythmus
\item Dynamik
\item Klangfarbe
\item Raumzeit$^\text{TM}$
\end{itemize}
Wir wollen im Folgenden Musiktheorie aus Mathematik und möglichst einfachen Axiomen aufzubauen.
\subsection{Intervalle}
\begin{definition}[Schall]
\vocab{Schall} ist eine Funktion $f: \text{Zeit} \to \text{Druck}$ bzw. $f: \text{Zeit} \to \text{Luftbewegung}$
\end{definition}
\begin{definition}[Ton]
Ein \vocab{Ton} entspricht einer Schwingungsfrequenz.
\end{definition}
\begin{observe}
Die Funktion $\sin(2\pi \cdot f \cdot t)$ ist periodisch mit $T_0$ genau dann, wenn $f = k \cdot \frac{1}{T_0}$ für ein $k \in \Z$.
\end{observe}
\begin{definition}[Lineares Modell der MTT]
Jede Funktion mit Periode $T_0$ kann als Summe von Funktionen der Form $a \cdot \sin(2\pi \cdot f \cdot t), a\cdot \cos(2\pi\cdot f\cdot t)$, $f = k \cdot \frac{1}{T_0}, a \in \R, k \in \Z$ dargestellt werden.
Für $k=1$ ergibt sich die \vocab{Grundfrequenz} $\frac{2\pi}{T}$, für $k \ge 2$ reden wir von \vocab[Oberton]{Obertönen}.
\end{definition}
\todo{Obertöne Saiteninstrument (Alle Obertöne), Flöte, Querflöte (Obertöne nur für $k \in 2\N + 1$)}
\begin{table}[htpb]
\centering
\caption{Obertöne}
\label{tab:obertoene}
\begin{tabular}{clcccc}
$k$ & Ton & Frequenz-& Halb- & EDO12 & Reine Intervalle\\
& & verhältnis & töne& &(Cent) \\
\hline
$1$ & C \\
& $\shortdownarrow$ Oktave & $2$ & $10$ & $2,000$ & $1200$\\
$2$ & C \\
& $\shortdownarrow$ Quinte & $\frac{3}{2}$ & $7$ & $1,4989$ & $702$\\
$3$ & G \\
&$\shortdownarrow$ Quarte & $\frac{4}{3}$ & $5$ & $1,3348$ & $498$\\
$4$ & C\\
&$\shortdownarrow$ gr. Terz & $\frac{5}{4}$ & $4$ & $1,2599$ & $386$\\
$5$ & E \\
&$\shortdownarrow$ kl. Terz & $\frac{6}{5}$ & $3$ & $1,1892$ & $316$\\
$6$ & G\\
&$\shortdownarrow$ & $\frac{7}{6}$ & $3$? & & $267$\\
$7$ & B ? \\
&$\shortdownarrow$ & $\frac{8}{7}$ & $2$? & & $231$\\
$8$ & C\\
&$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{9}{8}$ & $2$ & $1,1225$ & $204$\\
$9$ & D \\
&$\shortdownarrow$ gr. Sekunde & $\frac{10}{9}$ & 2 & $1,1225$& $182$\\
$10$ & E \\
\end{tabular}
\end{table}
\begin{observe}
$\frac{9}{8} = \frac{10}{9}$ ???
\end{observe}
Es ergeben sich außerdem
\begin{table}[htpb]
\centering
\caption{Intervalle}
\label{tab:intervale}
\begin{tabular}{lll}
Intervall & Verhältnis & Reines Intervall (Cent)\\
gr. Sexte & $\frac{5}{3}$ &$884$\\
kl. Sexte & $\frac{8}{5}$ &$814$\\
kl. Septime & $\frac{9}{5} \approx \frac{7}{4}$ & $1018 \approx 969$\\
Tritonus & $\sqrt{2}$
\end{tabular}
\end{table}
\begin{remark}
Es ergibt sich als Frequenzverhältnis (in Bezug auf C)
für gis (über E) $25:16$
und für as $8:5$. Diese Töne sind hier also tatsächlich verschieden.
\end{remark}
\todo{Skizze: Versuch der Konstruktion eines Tonvorrates mit sauberen Intervallen}
Buchempfehlung: R. Duffin - ``How equal temperament ruined harmony - and why you should care''.
\todo{Bild Flageoletttöne}
Da das leider nicht genau aufgeht definieren wir als atomares Intervall:
\begin{definition}[Halbton]
\vocab{Halbton} $\coloneqq 2^{\frac{1}{12}}$.
Dieses Stimmungssystem nennt sich \vocab{EDO12} oder auch \vocab{12-TET}.
\end{definition}
Dementsprechend ist ein Intervall mit $n$ Halbtonschritten definiert als $2^{\frac{n}{12}}$.
Um kleinere Tonabstände beschreiben zu können definieren wir ferner:
\begin{definition}[Cent]
\vocab{Cent} $\coloneqq 2^{\frac{1}{1200}}$
\end{definition}
\begin{remark}
Die Wahrnehmungsschwelle liegt bei \todo{Recherchieren}
\end{remark}

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@ -4,5 +4,8 @@
\RequirePackage{fancythm} \RequirePackage{fancythm}
\RequirePackage{tikz-cd} \RequirePackage{tikz-cd}
\RequirePackage{mkessler-math} \RequirePackage{mkessler-math}
\RequirePackage{float} %\RequirePackage{float}
\RequirePackage{mkessler-hypersetup} \RequirePackage{mkessler-hypersetup}
\RequirePackage{mkessler-vocab}
\RequirePackage{mkessler-mathalias}
\RequirePackage{todonotes}

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@ -16,7 +16,7 @@
\tableofcontents \tableofcontents
\cleardoublepage \cleardoublepage
\input{uebersicht.tex} \input{inputs/uebersicht.tex}
\end{document} \end{document}

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@ -1,135 +0,0 @@
\section{Übersicht}
\subsection{Was ist Musiktheorie?}
\paragraph{Musik}
\begin{itemize}
\item Melodien
\item Harmonien
\item Rhythmus
\item Dynamik
\item Instrumente
\begin{itemize}
\item Klangfarbe
\end{itemize}
\item Erzählungsstruktur
\end{itemize}
\begin{figure}[H]
\centering
\begin{tikzcd}
\text{Noten} \arrow{r}{}& \text{Instrumente}\arrow{d}{}\\
& \text{Schall}\arrow{d}{} \\
\text{Empfindung} \arrow{uu}{\text{komponieren}} & \text{Ohr}\arrow{l}{}
\end{tikzcd}
\label{musikkomdiag}
\end{figure}
\paragraph{Theorie}
\begin{itemize}
\item Abstraktion
\item Analyse
\item Struktur/Erklärungen
\item Modell
\item generiert falsifizierbare Hypothesen
\item grenzt (mit Absicht!) gegenüber nicht-weißer Musik ab
\end{itemize}
Mathematik:
\begin{itemize}
\item Axiome
\item Folgerungen
\item (Konventionen)
\end{itemize}
Naturwissenschaften:
Eine Theorie sollte auf einfachen Annahmen beruhen und daraus Vorhersagen über die Realität ermöglichen.
\paragraph{Musiktheorie}
Wunsch
\begin{itemize}
\item Allgemein gültige Theorie (erklärt alle Musikstücke)
\item Empfindung erklären (siehe \autoref{musikkomdiag})
\item Klassifikation von Musik
\item Abgrenzung zu nicht-Musik
\item Neue Musik generieren $\leadsto$ Hypothesentest
\end{itemize}
Realität
\begin{itemize}
\item Gültigkeit beschränkt auf westliche, europäische Musik, ausgewählter männlicher, weißer Künstler aus dem 16. - 20. Jh.
\item Klassifikation funktioniert innerhalb des Gültigkeitsbereiches recht gut.
\item Heuristiken
\item Erklärung funktioniert nicht
\item Hilfsmittel zum Generieren neuer Musik
\end{itemize}
Empfehlung: \url{https://www.youtube.com/watch?v=Kr3quGh7pJA}
\subsection{Aspekte von Musiktheorie}
Worüber trifft Musiktheorie Aussagen?
\begin{itemize}
\item Tonleitern (Auswahl aus dem Tonvorrat) - Axiom
\item Tonart (Tonleiter mit Grundton) - Axiom
\item Harmonie
\begin{itemize}
\item Intervalle - Folgerung
\item Akkorde - Folgerung
\begin{itemize}
\item Terzschichtungen - Konvention
\end{itemize}
\item Kadenzen - Folgerung?
\item Konsonanz, Dissonanz - Axiom
\end{itemize}
\item Tonsatz, z.B. Generalbass - Folgerung
\item Betonung - Konvention
\item Rhythmus - Konvention
\item Formlehre - Konvention
\item Melodien / Stimmführung - Axiom
\item Modulation - Folgerung
\item Instrumentation - Konvention
\item Tonvorrat - Axiom
\item Kammerton - Konvention
\item Enharmonik - Folgerung
\item Notation - Konvention
\end{itemize}
\begin{question}
Existieren Leittöne auch in anderen Musikrichtungen?
\end{question}
\paragraph{Stilmittel}
\begin{itemize}
\item Vibrato
\item Glissando
\item Flageoletttöne
\item Verzerrungen
\item Verzierungen
\end{itemize}
Einige Aspekte werden in klassischer Musiktheorie nicht behandelt:
\begin{itemize}
\item Stimmungssysteme
\item Rhythmus
\item Dynamik
\item Klangfarbe
\item Raumzeit$^\text{TM}$
\end{itemize}